Höhere Wurzel

Die n-te Wurzel ( n2n\geq2 ) einer Zahl aR0+a\in ℝ_0^+ , bezeichnet als an\sqrt[n]a ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muss ( "hoch n nehmen") um a zu erhalten. Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung xn=ax^n=a bezeichnet man als an\sqrt[n]a .

Zum Beispiel ist 273=3\sqrt[3]{27}=3 , denn 33=273^3=27 .

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für nn gerade die Gleichung xn=ax^n=a keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für nn ungerade eine Gleichung xn=ax^n=a für negative aa, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z.B: 14\sqrt[4]{-1} ist nicht definiert, denn x4=(x2)2=1x^4=\left(x^2\right)^2=-1 besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. 2  =  83    (8)26  =646  =  83  =2-2\;=\;\sqrt[3]{-8}\;\neq\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[3]8\;=2

Im Falle n=2\mathrm n=2 spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt a2\sqrt[2]a einfach a\sqrt a .

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

  • Das nn nennt man Wurzelexponent.

  • Das xx nennt man Radikand.

  • xn\sqrt[n]x nennt man einen Wurzelterm oder auch eine n-te Wurzel.

Beispiele

  1. 1253=5\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\sqrt[3]{125}=5\end{array} , denn 53=1255^3=125 .

  2. 34\sqrt[4]{-3} ist nicht definiert, denn x4=(x2)2=3x^4=\left(x^2\right)^2=-3 besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

  3. 484=342\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]3\cdot2 , denn 48  =  3    1648\;=\;3\;\cdot\;16 , wobei 24  =  16\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2^4\;=\;16\end{array} und 34\sqrt[4]3 sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln

an    bn=abn\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}\;\cdot\;\sqrt[\mathrm n]{\mathrm b}=\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a\cdot\mathrm b}

anbn=abn\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}

an=a1n\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}=\mathrm a^\frac1{\mathrm n}

amn=amn=(an)m\mathrm a^\frac mn=\sqrt[n]{\mathrm a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m

anm=amn\sqrt[\mathrm m]{\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}}=\sqrt[{\mathrm m\cdot\mathrm n}]{\mathrm a}


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