Bogenmaß

Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Folgende Formel gibt die Beziehung zwischen Grad- und Bogenmaß wieder:

wobei φ\varphi das Gradmaß ist und bb das Bogenmaß.

Umrechnungsformeln

Stellt man diese Formel nach dem Bogenmaß um, so erhält man

Damit kann man das Bogenmaß aus dem Gradmaß erhalten. Analog erhält man bei der Umstellung nach dem Gradmaß

Wichtige Werte

Gradmaß φ\varphi

Bogenmaß bb

Umrechnung

Beispiel

Geg: φ=30\varphi=30^\circ

Ges: bb

Betrachte die Umrechnungformel.

Setze φ=30\varphi=30^\circ ein.

Erklärung der Definition

Das Bogenmaß ordnet jedem Gradmaß  φ\mathrm\varphi eine eindeutige Zahl bb zu (mit obiger Umrechnungsformel). Wie ist man auf das Bogenmaß gekommen?

Man kann jeden Winkel  auch durch zwei gleichlange Schenkel aufspannen.

Wähle als Länge 11, und betrachte die Bogenlänge bb des Kreissektors.

Wie berechnet man bb?

Bogenlänge b = φ3602r=2,  da  r=1π=φ3602π\frac\varphi{360^\circ}\cdot\underbrace{2r}_{=2,\;da\;r=1}\cdot\mathrm\pi=\frac{\mathrm\varphi}{360^\circ}\cdot2\mathrm\pi

Das Bogenmaß eines Winkels α\alpha ist also die Bogenlänge des Kreissektors mit Radius 11, der durch den Winkel α\alpha aufgespannt wird. Man verwendet dafür auch die Pseudoeinheit rad\text{rad} ("Pseudo" deswegen, weil es keine physikalische Größe wie z.B. der Meter, das Gewicht oder die Geschwindigkeit ist). Allgemein beschreibt 1rad1\text{rad} den Winkel in einem Kreis mit Radius rr, der einen Kreisbogen der Länge rr einschließt. Demnach hat jeder Vollkreis einen Winkel 2π  rad2\pi\;\text{rad}. Dies zeigt auch die folgende Animation.


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