Betrachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese ${\mathrm H}_0$. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Lehrer Maier glaubt, dass mehr als 40% der Schüler das Thema Hypothesentest noch nicht verstanden haben.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: $\mathrm{H}_0$: $\mathrm{p}_0\le0{,}4$; d.h. weniger als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Stelle nun die Gegenhypothese $H_1$ auf.

Die Gegenhypothese ist $\mathrm{H}_1$:  $\mathrm{p}>0{,}4$ ; d.h. mehr als 40% der Schüler haben das Thema noch nicht verstanden.

Als Übersicht über die Angaben kann die folgende Tabelle benutzt werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\\;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\\hline H_0:p\leq0{,}4& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art \leq 0{,}1}\\\hline H_1:p> 0{,}4 \; & \; & \\ \hline\end{array}$

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler den Test besteht betrage 40%. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schülern mehr Schüler den Test bestehen als die Entscheidungsregel angibt, soll höchstens 10% betragen.)

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

$1- \mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;<\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$

$\left|-1\right.$ und schreibe $\mathrm{X<k}$ als $\mathrm{X\le k-1}$.

$-\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;-0{,}9$

$\left|\cdot\left(-1\right)\right.$ auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\geq\;0{,}9$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 23)=0{,}8438$;

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 24)=0{,}9022$;

$\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;24$

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0{,}1$

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50; p=0,4) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,1 ist.

Tabellenwerk liefert:

$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 15)=0{,}0955$;$\mathrm P_{0{,}4}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 16)=0{,}1561$;

$\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;15$

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

$\mathrm{P("mindestens \;22 \;Schüler \;fallen \;durch")}$$=P^{50}_{0{,}25}(X \geq 22)=$$1-P_{0{,}25}^{50}(X<22)=$ $1-P(X\leq 21)$

Bestimme den Wert mit Hilfe des Tafelwerks.

$=1-0{,}99738=0{,}00262\approx 0{,}2\%$