Um Inhalte von Flächen oder Körpern in einem Koordinatensystem zu berechnen, ohne mit einem Lineal zu messen, gibt es zwei verschiedene Methoden:
  • Ist die Figur achsenparallel, das heißt die zur Flächenberechnung notwendigen Seiten sind parallel zur x- oder y-Achse, berechnet man die Flächen über die Koordinatendifferenz.
  • Ist die Figur oder der Körper nicht achsenparallel, kann sein Inhalt über Vektoren bestimmt werden.

Inhalte über Koordinatendifferenz bestimmen

Um den Flächeninhalt über die Koordinatendifferenz zu bestimmen, müssen die zur Berechnung der Fläche notwendigen Längen parallel zu den Koordinatenachsen sein. Nun werden die Längen der benötigten Seiten über Differenzen von Punktkoordinaten bestimmt und in die entsprechende Formel eingesetzt.

Beispiel

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4989_5H7NQz1z6z.xml
Es soll der Flächeninhalt des Dreiecks ABC, mit A(  1  2  )\mathrm A(\;-1\;\vert-2\;)B(  5  2  )\mathrm B(\;5\;\vert-2\;) und  C(  9    6)\mathrm C(\;9\;\vert\;6\,) berechnet werden.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist  A=12hg\mathrm A=\frac12\cdot\mathrm h\cdot\mathrm g .
Nun müssen die Grundlinie g und die Höhe h bestimmt werden.
Bestimmung der Grundlinie
Die Grundlinie ist parallel zur x-Achse und wird durch die Punkte A und B bestimmt. 
Die Differenz der x-Koordinaten von A und B ist damit die Länge der Grundlinie.
g=xbxa=5(1)=5+1=6  LE\mathrm g={\mathrm x}_\mathrm b-{\mathrm x}_\mathrm a=5-(-1)=5+1=6\;\mathrm{LE}\\
  
Bestimmung der Höhe h
Die Höhe h ist parallel zur y-Achse und wird durch die Differenz der y-Koordinaten von C und A oder B berechnet. Die y-Koordinate von A und B muss gleich sein, da sie sonst nicht parallel zur x-Achse wären.
h=ycya=6(2)=6+2=8  LE\mathrm h={\mathrm y}_\mathrm c-{\mathrm y}_\mathrm a=6-(-2)=6+2=8\;\mathrm{LE}
  
Die Werte müssen nun noch in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks eingesetzt werden.
A=12hg=128  LE6  LE=24  FEA=\frac12\cdot h\cdot g=\frac12\cdot8\;LE\cdot6\;LE=24\;FE
Damit ist der Flächeninhalt 24 FE.
 
Weitere Hinweise:
Die Differenzen müssen immer positiv sein, da sonst ein nicht positiver Flächeninhalt berechnet wird.
  • LE steht für Längeneinheit, FE steht für Flächeninhalt.
  • Die Methode kann auch zur Bestimmung vom Volumina eines Körpers genutzt werden, dies wird jedoch nur sehr selten gemacht.

Inhalte über Vektoren    

Die Fläche oder das Volumen einer nicht achsenparallelen Figur wird über Vektoren bestimmt. Dazu gibt es bestimmte Formeln, die im Folgenden aufgeführt werden. Hilfreich ist auch die Eigenschaft des Kreuzproduktes im 3-Dimensionalen Koordinatensystem, da es halbiert die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Dreiecks ergibt.


Inhalt eines Dreiecks ABC  

Der Inhalt eines Dreiecks ABC:
Im Zweidimensionalen
A=12(a1b2a2b1)+(b1c2b2c1)+(c1a2c2a1)\mathrm A=\frac12\left|\left({\mathrm a}_1{\mathrm b}_2-{\mathrm a}_2{\mathrm b}_1\right)+\left({\mathrm b}_1{\mathrm c}_2-{\mathrm b}_2{\mathrm c}_1\right)+\left({\mathrm c}_1{\mathrm a}_2-{\mathrm c}_2{\mathrm a}_1\right)\right|
Im Dreidimensionalen
A=12AB×AC\mathrm A=\frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\\

Inhalt eines Parallelogramms        

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Vektoren  a\overrightarrow{\mathrm a}  und  b\overrightarrow{\mathrm b}  im 2-Dimensionalen aufgespannt wird:
A=a1b2a2b1\mathrm A=\left|{\mathrm a}_1{\mathrm b}_2-{\mathrm a}_2{\mathrm b}_1\right|
Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Vektoren  c\overrightarrow{\mathrm c}  und  d\overrightarrow{\mathrm d}  im 3-Dimensionalen aufgespannt wird:
A=c×d\mathrm A=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\times\overrightarrow{\mathrm d}\right|
Man muss jedoch beachten, dass man den durch das Kreuzprodukt entstehenden Vektor nicht vergrößern oder verkleinern darf. 

Volumen einer dreiseitigen Pyramide      

Die Volumenformel für eine Dreiseitige Pyramide:
V=16a(b×c)=16det(a,b,c)\begin{array}{l}\mathrm V=\frac16\left|\overrightarrow{\mathrm a}\circ\left(\overrightarrow{\mathrm b}\times\overrightarrow{\mathrm c}\right)\right|=\frac16\left|\det\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b},\overrightarrow{\mathrm c}\right)\right|\\\end{array}
Kommentieren Kommentare

Zu article Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem: Die Lösung 22 FE ist falsch !
mathecoach22 2016-09-02 01:46:18+0200
A = (1/2) x 8LE x 6LE= 24 FE

und nicht 22 FE :)
Hannes 2016-09-02 06:39:56+0200
Hi mathecoach22,

vielen Dank für deinen Hinweis!
Ich korrigiere das sofort.
Du könntest den Fehler auch selber korrigieren, indem du oben auf den Stift klickst (grüner Button). So gelangst du in den Bearbeitungsmodus ;)

Ich hoffe dir gefällt Serlo!
Liebe Grüße
Hannes
mathecoach22 2016-09-02 18:57:29+0200
Ja danke, die Seite gefällt mir, ich bin über Google hier her gekommen, weil ich wissen wollte wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, wenn nur drei Punkte gegeben sind.

Hier ist alles sehr schön erklärt, habe die Rechnung dann nochmal mit dem Satz des Heron ausgerechnet, was wunderbar funktioniert hat.
Hannes 2016-09-05 07:15:22+0200
Hi mathecoach22,
das freut mich zu hören! Weiterhin noch viel Spaß und Erfolg beim Lernen auf Serlo!

Und falls du nochmal einen Fehler entdeckst oder der Meinung bist, dass etwas nicht optimal erklärt wird, kannst du jederzeit Änderungen selber vornehmen - wenn du Lust hast ;) . Falls du dazu Fragen hast kannst du sie mir gerne Stellen (hier oder auf meinem Profil https://de.serlo.org/user/profile/324 )
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