Ungleichung

Eine Ungleichung ist aufgebaut wie eine Gleichung. Statt des " $=$ " werden die zu vergleichenden Terme jedoch durch

$<$ (kleiner),
$\leq$ (kleiner oder gleich),
$>$ (größer) oder
$\geq$ (größer oder gleich)

getrennt.

Das heißt: Während man bei Gleichungen einen (oder mehrere) Wert(e) für $x$ sucht, sodass die beiden Terme rechts und links des Gleichheitszeichens den gleichen Wert liefern, werden hier Werte für $x$ gesucht, sodass ein Term - je nach Zeichen - einen größeren oder kleineren Wert liefert als der andere.

Beispiele

In der folgenden Tabelle sind knappe Beispiele mit Lösungsmenge, aber ohne Lösungsweg aufgelistet. Ein ausführliches Beispiel mit Lösungsweg und Erläuterung befindet sich im Artikel Ungleichungen lösen.

Ungleichung	Wahrheitswert	Lösungsmenge
$1 < 2$	wahr
$\frac{3}{4} + \frac{2}{3} \geq \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \Leftrightarrow \frac{17}{12} \geq \frac{13}{12}$	wahr
$5 < 2$	falsch
$x + x \leq 2 x + 1$	wahr für alle x (allgemeingültig)	$L = ℝ$
$x + 2 < 3$	wahr für $x \in [- \infty; 1 [$ , sonst falsch	$L = {x \| x < 1}$ (Menge aller x mit der Eigenschaft $x < 1$ )
$x^{2} \leq 4$	wahr für $x \in [- 2; 2]$ , sonst falsch	$L = {x \| - 2 \leq x \leq + 2}$ (Menge aller $x$ mit der Eigenschaft, dass $x$ zwischen minus 2 und plus $2$ liegt)

Arten von Ungleichungen

Art	Beschreibung	Beispiel
lineare Ungleichungen	Die Variable x steht nur im Zähler und hat höchstens den Exponenten $1$ .(Bemerke: $x^{1} = x$ )	$\frac{1}{3} x + 4 \cdot x < \frac{3}{4}$
Bruchungleichungen	Die Variable kommt auch im Nenner vor.	$\frac{1}{x + 2} \leq \frac{5 x}{x - 3}$
quadratische Ungleichungen	Die Variable kommt mindestens einmal quadratisch (d.h. mit Exponent $2$ ) vor.	$x^{2} > 3$
Wurzelungleichungen	Die Variable steht unter einer Wurzel.	$\sqrt{x + 3} \leq \frac{1}{4} - x$
Potenzungleichungen	Die Variable kommt als Exponent vor.	$3^{x} \geq 1$

Die Liste kann noch fortgesetzt werden, im Rahmen dieses Artikels soll die Auswahl der oben genannten Arten jedoch genügen.

Lösen von Ungleichungen

Um über das Lösen von Ungleichungen zu lesen, siehe den Artikel Ungleichungen lösen.

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