Die beiden haben zusammen $2+4=62+4=6$ Stücke gegessen, also den Bruchteil $\frac{6}{12}\backslash frac\{6\}\{12\}$. Dahinter steht die Rechnung

Wir sehen also, dass bei der Addition gleichnamiger Brüche die Zähler addiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Welcher Bruchteil der Pizza bleibt übrig?

Wie auch in der Grafik zu sehen, bleiben $12-6=612-6\; =\; 6$ Stücke übrig, also der Bruchteil $\frac{6}{12}\backslash frac\{6\}\{12\}$. Dahinter steht die Rechnung

Wir sehen also, dass bei der Subtraktion gleichnamiger Brüche die Zähler subtrahiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

Wir haben im vorherigen Abschnitt gesehen, wie man gleichnamige Brüche addiert und subtrahiert. Wir wollen uns nun anschauen, wie man mit Brüchen rechnet, die unterschiedliche Nenner besitzen, z. B. $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ und $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$.

Dazu bietet es sich an, die Brüche durch Rechtecke zu veranschaulichen:

Die Addition kann man veranschaulichen, indem man die beiden Rechtecke übereinander legt.

Mathematisch passiert Folgendes: Die neue Zerteilung entspricht Erweitern auf denselben Hauptnenner:

Anschließend kann man diese beiden Brüche so addieren, wie wir es im vorherigen Abschnitt gelernt haben, d. h. die Zähler werden addiert und der Nenner bleibt gleich:

Wir sehen also, dass wir die Addition ungleichnamiger Brüche dadurch berechnen können, indem wir vorher die Brüche auf denselben Hauptnenner erweitern. Dasselbe Verfahren können wir auch bei der Subtraktion verwenden.

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

Von den natürlichen und ganzen Zahlen kennst du bereits, dass gilt: $2\cdot 5=5+5=102\; \backslash cdot5=5+5=10$. Die Multiplikation ist also eine wiederholte Addition.

Genauso gilt das bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen mit Brüchen.

Wir sehen also:

Übungsaufgaben

Wir müssen als $\frac{2}{3}\backslash frac23$ von $22$ berechnen. Anschaulich können wir uns das so vorstellen:

Wir sehen also:

Übungsaufgaben

Wenn wir nun $\frac{1}{3}\backslash frac13$ von $\frac{3}{4}\backslash frac34$ markieren, können wir abzählen, dass $\frac{3}{12}\backslash frac3\{12\}$ der ursprünglichen Tüte markiert sind. Also gilt: ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac13$ von ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}\backslash dfrac34=\; \backslash dfrac3\{12\}$

Rechnen können wir das so:

${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac13$ von ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}\backslash dfrac34=\; \backslash dfrac13\backslash cdot\; \backslash dfrac34\; =\; \backslash dfrac\; \{1\backslash cdot3\}\{3\backslash cdot4\}=\backslash dfrac3\{12\}$

Wir sehen also:

Oft können wir das Ergebnis noch kürzen. In unserem Beispiel können wir Zähler und Nenner noch mit 3 kürzen und erhalten: ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash dfrac3\{12\}=\backslash dfrac14$

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Multiplikation von Brüchen

Weiteres Beispiel

Überlegungen zur Rechenregel

Schauen wir uns die Rechnungen der zwei Beispiele nochmal genauer an:

${\displaystyle \frac{4}{3}}:2={\displaystyle \frac{4}{6}}\backslash dfrac43:2=\backslash dfrac46\backslash ;\backslash ;$ und ${\displaystyle \frac{4}{5}}:3={\displaystyle \frac{4}{15}}\backslash ;\backslash ;\backslash dfrac45:3=\backslash dfrac4\{15\}$

Im ersten Beispiel bedeutet das $:2:2$, dass wir "die Hälfte" von ${\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash dfrac43$ nehmen. Wir können also auch ${\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{6}}\backslash dfrac43\backslash cdot\backslash dfrac12=\backslash dfrac46$ schreiben.

Genauso bedeutet im zweiten Beispiel $:3:3$, dass wir den "dritten Teil" von ${\displaystyle \frac{4}{5}}\backslash dfrac45$ nehmen. Wir können also auch ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{15}}\backslash dfrac45\backslash cdot\backslash dfrac13=\backslash dfrac4\{15\}$ schreiben.

Wir können also anstatt durch eine ganze Zahl zu dividieren, auch mit dem Kehrbruch multiplizieren. Dabei ist ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac12$ der Kehrbruch von $22$ und ${\displaystyle \frac{1}{3}}\backslash dfrac13$ der Kehrbruch von $33$.

Übungsaufgaben

Merke:

Übungsaufgaben

Tom und sein Freund haben noch $\frac{2}{3}\backslash frac23$ Liter Cola übrig. Sie wollen sie in kleinere, handlichere Flaschen umfüllen. In jeder kleinen Flasche ist Platz für $\frac{1}{4}\backslash frac14$ Liter. Wie viele Flaschen brauchen sie?

Zunächst schauen wir uns ein einfacheres Beispiel an. Wenn wir $2020$ Liter in $22$ Liter-Flaschen abfüllen wollen, rechnen wir: $20:2=10\backslash ,20:2=10$. Man braucht also $1010$ Flaschen, um $2020$ Liter in $22$ Liter-Flaschen abzufüllen.

Genauso können wir nun berechnen, wie viele Flaschen Tom und sein Freund brauchen. Wir rechnen: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}=?\backslash dfrac23:\backslash dfrac14=?$

Insgesamt gilt:

${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}=2{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\backslash dfrac23:\backslash dfrac14=2\backslash dfrac23=\backslash dfrac83$

Im letzten Schritt haben wir den gemischten Bruch umgewandelt.

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass wir anstatt durch eine Zahl zu dividieren auch mit dem Kehrbruch multiplizieren können. Das Gleiche gilt auch bei der Division durch einen Bruch.

Wir erhalten den Kehrbruch eines Bruchs, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. So ist der Kehrbruch von $\frac{1}{4}\backslash frac14$ gleich $\frac{4}{1}\backslash frac41$ und es gilt $\frac{4}{1}=4\backslash frac41=4$.

Wir können also rechnen: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\backslash dfrac23:\backslash dfrac14=\backslash dfrac23\backslash cdot\backslash dfrac41=\backslash dfrac\{2\backslash cdot4\}\{3\backslash cdot1\}=\backslash dfrac83$

Merke:

Weitere Aufgaben zum Thema findest du hier: Aufgaben zur Division von Brüchen