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Kurs

Rechnen mit Brüchen

1 Addition und Subtraktion: gleichnamige Brüche

Tom bekommt heute sein Lieblingsessen, Pizza! Er zerteilt die Pizza in 12 gleich große Stücke. Ein Stück ist der zwölfte Teil der gesamten Pizza, d. h. 112. Tom isst 2 Stücke, d. h. 212, sein Freund 4 Stücke, das heißt 412.

Welchen Bruchteil der Pizza essen die beiden zusammen?

2/12 + 4/12 als Pizza

Die beiden haben zusammen 2+4=6 Stücke gegessen, also den Bruchteil 612. Dahinter steht die Rechnung

212+412=612.

Wir sehen also, dass bei der Addition gleichnamiger Brüche die Zähler addiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Welcher Bruchteil der Pizza bleibt übrig?

Wie auch in der Grafik zu sehen, bleiben 126=6 Stücke übrig, also der Bruchteil 612. Dahinter steht die Rechnung

1212612=612.

Wir sehen also, dass bei der Subtraktion gleichnamiger Brüche die Zähler subtrahiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Merke
  • Addition gleichnamiger Brüche:

    Die Zähler der Brüche werden addiert, der Nenner beibehalten:

    ac+bc=a+bc.
  • Subtraktion gleichnamiger Brüche:

    Die Zähler der Brüche werden subtrahiert, der Nenner beibehalten:

    acbc=abc.

    Das Ergebnis kann oft noch gekürzt werden.

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

114+514

17351235

1745+1845

910610

2 Addition und Subtraktion: ungleichnamige Brüche

Wir haben im vorherigen Abschnitt gesehen, wie man gleichnamige Brüche addiert und subtrahiert. Wir wollen uns nun anschauen, wie man mit Brüchen rechnet, die unterschiedliche Nenner besitzen, z. B. 12 und 23.

Dazu bietet es sich an, die Brüche durch Rechtecke zu veranschaulichen:

1/2 als Rechteck
2/3 als Bruch

Die Addition kann man veranschaulichen, indem man die beiden Rechtecke übereinander legt.

Man kann sehen, dass sich eine neue Zerteilung des Rechtecks bildet, und zwar in 6 Teile. Es sind 3 Teile türkis und 4 Teile rot gefärbt. Zusammen also 7 Teile. Hierbei muss man in der grafischen Veranschaulichung beachten, dass die oberen beiden linken Teile doppelt gezählt werden müssen, da sie in beiden Rechtecken gefärbt werden.

1/2 + 2/3 als Rechteck

Mathematisch passiert Folgendes: Die neue Zerteilung entspricht Erweitern auf denselben Hauptnenner:

12=36und23=46

Anschließend kann man diese beiden Brüche so addieren, wie wir es im vorherigen Abschnitt gelernt haben, d. h. die Zähler werden addiert und der Nenner bleibt gleich:

36+46=76.

Wir sehen also, dass wir die Addition ungleichnamiger Brüche dadurch berechnen können, indem wir vorher die Brüche auf denselben Hauptnenner erweitern. Dasselbe Verfahren können wir auch bei der Subtraktion verwenden.

VorgehenAddition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
  1. Finde einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner)

  2. Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner

  3. Addiere bzw. subtrahiere die Zähler

  4. Kürze das Ergebnis vollständig

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

12+35

111523

34+25

4517

3 Übungsaufgaben

Laden

Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

4 Multiplikation: natürliche Zahl mal Bruch

Schauen wir uns nochmal unser Pizza-Beispiel von vorher an: Tom hat 2 Stücke, d. h. den Bruchteil 212 gegessen, sein Freund 4 Stücke, d. h. 412. Sein Freund isst also doppelt so viele Stücke wie Tom. Dahinter steht die Rechnung

2212=412
2/12 + 4/12 als Pizza

Von den natürlichen und ganzen Zahlen kennst du bereits, dass gilt: 25=5+5=10. Die Multiplikation ist also eine wiederholte Addition.

Genauso gilt das bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen mit Brüchen.

2212=212+212=2212=412

Wir sehen also:

Multiplizieren wir eine natürlichen Zahl mit einem Bruch, so wird der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner gleich bleibt.

Übungsaufgaben

523
416
3611
238

5 Multiplikation: Bruch mal natürliche Zahl

Nach so viel Pizza haben Tom und sein Freund Durst. Im Supermarkt ist eine 2 Liter Flasche Cola im Angebot. Sie schaffen aber nur 23 der Flasche auszutrinken.

Wie viele Liter Cola haben die beiden getrunken?

Flasche

Wir müssen als 23 von 2 berechnen. Anschaulich können wir uns das so vorstellen:

Jeder Balken entspricht 1 Liter, von dem jeweils 23 ausgetrunken wurden. Insgesamt wurden also 43 ausgetrunken. Es gilt also:

23 von 2 = 43

Rechnen können wir das so:

23 von 2=232=223 = 43

Multilplikation Bruch mal natürliche Zahl

Wir sehen also:

Multiplizieren wir einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, so wird der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner gleich bleibt.

Übungsaufgaben

5127

295

7112

344

6 Multiplikation: Bruch mal Bruch

Tom hat eine Packung Bonbons dabei, die noch 34 voll ist. Davon isst Tom 13 auf.

Wie viel von der ursprünglichen Packung hat Tom gegessen?

Bonbon

Wir wollen also wissen, wie viel 13 von 34 ist.

Zunächst veranschaulichen wir uns 34, indem wir ein Rechteck, das die Packung darstellen soll, in 4 gleich große Teile teilen. Du kannst dasselbe auch mit einem Blatt Papier nachfalten.

Multiplikation

Als Nächstes veranschaulichen wir uns 13 auf dieselbe Art und Weise, indem wir das Rechteck (Papier) längs in 3 gleich große Teile teilen (falten).

Multiplikation

Wenn wir nun 13 von 34 markieren, können wir abzählen, dass 312 der ursprünglichen Tüte markiert sind. Also gilt: 13 von 34=312

Rechnen können wir das so:

13 von 34=1334=1334=312

Wir sehen also:

Wir multiplizieren zwei Brüche, indem wir Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.

abcd=acbd

Oft können wir das Ergebnis noch kürzen. In unserem Beispiel können wir Zähler und Nenner noch mit 3 kürzen und erhalten: 312=14

Übungsaufgaben

3456

2754

31612

5823

7 Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Multiplikation von Brüchen

8 Division: Bruch geteilt durch ganze Zahl

Im vorigen Abschnitt haben wir berechnet, dass Tom und sein Freund zusammen 43 Liter Cola getrunken haben. Rechts siehst du die getrunkene Cola veranschaulicht.

Wenn beide genau gleich viel getrunken haben, wie viel Liter Cola hat dann Tom getrunken?

getrunkene Cola

Wir müssen also 43 geteilt durch 2 berechnen. Anschaulich können wir uns das so vorstellen, dass wir jeden der 43 Teile halbieren.

Dann können wir ablesen, dass Tom 46 Liter getrunken hat. Es gilt also 43:2=46.

von Tom getrunkene Cola

Weiteres Beispiel

Anna, Lisa und Marie teilen sich 45 Liter Apfelschorle.

Wie viel Saft bekommt Anna?

Saft

Wir teilen jedes der 45 Teile in 3 gleiche Teile und können dann ablesen:

45:3=415

Anna bekommt also 415 Liter Apfelsaft.

Bild

Überlegungen zur Rechenregel

Schauen wir uns die Rechnungen der zwei Beispiele nochmal genauer an:

43:2=46 und 45:3=415

Im ersten Beispiel bedeutet das :2, dass wir "die Hälfte" von 43 nehmen. Wir können also auch 4312=46 schreiben.

Genauso bedeutet im zweiten Beispiel :3, dass wir den "dritten Teil" von 45 nehmen. Wir können also auch 4513=415 schreiben.

Wir können also anstatt durch eine ganze Zahl zu dividieren, auch mit dem Kehrbruch multiplizieren. Dabei ist 12 der Kehrbruch von 2 und 13 der Kehrbruch von 3.

Übungsaufgaben

Der Kehrwert von 6 ist…

Der Kehrwert von 8 ist…

Der Kehrwert von 15 ist…

Merke:

Wir dividieren einen Bruch durch eine ganze Zahl, indem wir den Bruch mit dem Kehrbruch multiplizieren.

Übungsaufgaben

48:4

67:8

9 Division: Bruch geteilt durch Bruch

Tom und sein Freund haben noch 23 Liter Cola übrig. Sie wollen sie in kleinere, handlichere Flaschen umfüllen. In jeder kleinen Flasche ist Platz für 14 Liter. Wie viele Flaschen brauchen sie?

Zunächst schauen wir uns ein einfacheres Beispiel an. Wenn wir 20 Liter in 2 Liter-Flaschen abfüllen wollen, rechnen wir: 20:2=10. Man braucht also 10 Flaschen, um 20 Liter in 2 Liter-Flaschen abzufüllen.

Genauso können wir nun berechnen, wie viele Flaschen Tom und sein Freund brauchen. Wir rechnen: 23:14=?

Versuchen wir uns diese Rechnung wieder bildlich zu veranschaulichen. Links siehst du die 23 Liter. Rechts die gleiche Menge Cola, allerdings in 14 Liter Unterteilungen. Daran können wir erkennen, dass Tom und sein Freund insgesamt 3 kleine Flaschen brauchen. Die dritte Flasche ist allerdings nur zu 23 gefüllt.

Division

Insgesamt gilt:

23:14=223=83

Im letzten Schritt haben wir den gemischten Bruch umgewandelt.

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass wir anstatt durch eine Zahl zu dividieren auch mit dem Kehrbruch multiplizieren können. Das Gleiche gilt auch bei der Division durch einen Bruch.

Wir erhalten den Kehrbruch eines Bruchs, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. So ist der Kehrbruch von 14 gleich 41 und es gilt 41=4.

Wir können also rechnen: 23:14=2341=2431=83

Merke:

Wir dividieren einen Bruch durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrbruch multiplizieren.

10 Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du hier: Aufgaben zur Division von Brüchen


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