Die beiden haben zusammen $2+4=6$ Stücke gegessen, also den Bruchteil $\frac{6}{12}$. Dahinter steht die Rechnung

Wir sehen also, dass bei der Addition gleichnamiger Brüche die Zähler addiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Welcher Bruchteil der Pizza bleibt übrig?

Wie auch in der Grafik zu sehen, bleiben $12-6=6$ Stücke übrig, also der Bruchteil $\frac{6}{12}$. Dahinter steht die Rechnung

Wir sehen also, dass bei der Subtraktion gleichnamiger Brüche die Zähler subtrahiert werden, während der Nenner gleich bleibt.

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

Wir haben im vorherigen Abschnitt gesehen, wie man gleichnamige Brüche addiert und subtrahiert. Wir wollen uns nun anschauen, wie man mit Brüchen rechnet, die unterschiedliche Nenner besitzen, z. B. $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{3}$.

Dazu bietet es sich an, die Brüche durch Rechtecke zu veranschaulichen:

Die Addition kann man veranschaulichen, indem man die beiden Rechtecke übereinander legt.

Mathematisch passiert Folgendes: Die neue Zerteilung entspricht Erweitern auf denselben Hauptnenner:

Anschließend kann man diese beiden Brüche so addieren, wie wir es im vorherigen Abschnitt gelernt haben, d. h. die Zähler werden addiert und der Nenner bleibt gleich:

Wir sehen also, dass wir die Addition ungleichnamiger Brüche dadurch berechnen können, indem wir vorher die Brüche auf denselben Hauptnenner erweitern. Dasselbe Verfahren können wir auch bei der Subtraktion verwenden.

Übungsaufgaben

Berechne die folgenden Terme und kürze das Ergebnis vollständig

Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

Von den natürlichen und ganzen Zahlen kennst du bereits, dass gilt: $2\cdot 5=5+5=10$. Die Multiplikation ist also eine wiederholte Addition.

Genauso gilt das bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen mit Brüchen.

Wir sehen also:

Übungsaufgaben

Wir müssen als $\frac{2}{3}$ von $2$ berechnen. Anschaulich können wir uns das so vorstellen:

Wir sehen also:

Übungsaufgaben

Wenn wir nun $\frac{1}{3}$ von $\frac{3}{4}$ markieren, können wir abzählen, dass $\frac{3}{12}$ der ursprünglichen Tüte markiert sind. Also gilt: ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ von ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$

Rechnen können wir das so:

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ von ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1\cdot 3}{3\cdot 4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$

Wir sehen also:

Oft können wir das Ergebnis noch kürzen. In unserem Beispiel können wir Zähler und Nenner noch mit 3 kürzen und erhalten: ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben findest du hier: Aufgaben zur Multiplikation von Brüchen

Weiteres Beispiel

Überlegungen zur Rechenregel

Schauen wir uns die Rechnungen der zwei Beispiele nochmal genauer an:

${\displaystyle \frac{4}{3}}:2={\displaystyle \frac{4}{6}}$ und ${\displaystyle \frac{4}{5}}:3={\displaystyle \frac{4}{15}}$

Im ersten Beispiel bedeutet das $:2$, dass wir "die Hälfte" von ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ nehmen. Wir können also auch ${\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$ schreiben.

Genauso bedeutet im zweiten Beispiel $:3$, dass wir den "dritten Teil" von ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ nehmen. Wir können also auch ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$ schreiben.

Wir können also anstatt durch eine ganze Zahl zu dividieren, auch mit dem Kehrbruch multiplizieren. Dabei ist ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ der Kehrbruch von $2$ und ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ der Kehrbruch von $3$.

Übungsaufgaben

Merke:

Übungsaufgaben

Tom und sein Freund haben noch $\frac{2}{3}$ Liter Cola übrig. Sie wollen sie in kleinere, handlichere Flaschen umfüllen. In jeder kleinen Flasche ist Platz für $\frac{1}{4}$ Liter. Wie viele Flaschen brauchen sie?

Zunächst schauen wir uns ein einfacheres Beispiel an. Wenn wir $20$ Liter in $2$ Liter-Flaschen abfüllen wollen, rechnen wir: $20:2=10$. Man braucht also $10$ Flaschen, um $20$ Liter in $2$ Liter-Flaschen abzufüllen.

Genauso können wir nun berechnen, wie viele Flaschen Tom und sein Freund brauchen. Wir rechnen: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}=?$

Insgesamt gilt:

${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}=2{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Im letzten Schritt haben wir den gemischten Bruch umgewandelt.

Im vorigen Kapitel hast du gelernt, dass wir anstatt durch eine Zahl zu dividieren auch mit dem Kehrbruch multiplizieren können. Das Gleiche gilt auch bei der Division durch einen Bruch.

Wir erhalten den Kehrbruch eines Bruchs, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. So ist der Kehrbruch von $\frac{1}{4}$ gleich $\frac{4}{1}$ und es gilt $\frac{4}{1}=4$.

Wir können also rechnen: ${\displaystyle \frac{2}{3}}:{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 1}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Merke:

Weitere Aufgaben zum Thema findest du hier: Aufgaben zur Division von Brüchen