Reguläre Vielecke

Regelmäßige, oder auch reguläre Vielecke sind Vielecke, deren Seiten alle die Gleiche Länge besitzen und in denen alle Winkel gleich groß sind.
Alle regulären Vielecke, haben einen eindeutigen Inn- und Umkreis mit dem selben Mittelpunkt.
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Die regulären n-Ecke für n∈{x∣x∈N,  2≤x≤10}n\in\left\{x\vert x\in\mathbb{N},\;2\leq x\leq10\right\}

Beispiele

Reguläres Dreieck

(gleichseitiges Dreieck)
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Innenwinkel 60° Artikel zum Thema

Reguläres Viereck

(Quadrat)
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7233_pAzdi1hFmB.xml
Innenwinkel 90° Artikel zum Thema

Reguläres Fünfeck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7235_QtnOcKRw8z.xml
Innenwinkel 108°

Reguläres Sechseck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7237_2e5NfyDXjg.xml
Innenwinkel 120°

Reguläres Siebeneck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7243_S92fMgbNWI.xml
Innenwinkel 128,57..°

Reguläres Achteck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7265_gfC9BFzXzn.xml
Innenwinkel 135°

Formeln für regelmäßige n-Ecke

Innenwinkel
α=n−2n180∘\displaystyle \alpha=\frac{\mathrm n-2}{\mathrm n}180^\circ
Flächeninhalt
Aregelma¨ßiges  n−Eck=n⋅a24⋅tan⁡(180∘n)\displaystyle {\mathrm A}_{\mathrm{reg}elmäßiges\;n-\mathrm{Eck}}=\frac{\mathrm{n\cdot a}^2}{4\cdot\tan\left({\displaystyle\frac{180^\circ}{\mathrm n}}\right)}
a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.
Umfang
Uregelma¨ßiges  n−Eck=n⋅a\displaystyle {\mathrm U}_{\mathrm{regelmäßiges}\;\mathrm n-\mathrm{Eck}}=\mathrm n\cdot\mathrm a
a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.
Man erhält die Fläche, indem man das n-Eck in einzelne gleischschenklige Dreiecke zerlegt mit dem Umkreismittelpunkt als Spitze und den einzelnen Seiten als Basen.
Unter allen n-Ecken, die innerhalb eines Kreises liegen, besitzt das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt.

Konstruktion                                      

Die meisten regulären n-Ecke, lassen sich nicht ohne weiteres konstruieren. Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck, Sechzehneck und Siebzehneck lassen sich nur mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Kreis als n-Eck

Für größere n sieht ein reguläres n-Eck dem Kreis immer ähnlicher. Man kann die Kreiszahl Pi näherungsweise berechnen, indem man den Umfang eines n-Ecks für immer größere n betrachtet. Der Grenzwert dieser Folge ist bei einem Umkreis mit Durchmesser 1 genau Pi.
U=n⋅a\mathrm U=\mathrm n\cdot\mathrm a
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