Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Bierschaumzerfall

Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs $10\ cm$ . Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen.

Stelle die Zerfallsgleichung für den Bierschaumzerfall auf.

Berechne, wann die Schaumhöhe auf $1\ cm$ zurückgegangen ist.

Bei einem anderen Gast beträgt die Schaumhöhe nach drei Minuten noch $3\ cm$ . Wie war die Schaumhöhe nach dem Einschenken?

Mache plausibel, wann der Zerfall am stärksten ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Die Zerfallsfunktion ist eine Exponentialfunktion mit einer Basis, die kleiner $1$ ist.
Am Graphen erkennst du, dass der Zerfall am Anfang am stärksten ist.
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$\displaystyle 0{,}5\cdot10$	$=$	$\displaystyle 10\cdot(1-p)^3$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle (1-p)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle 1-p$	$\displaystyle +p-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle p$	$=$	$\displaystyle 1-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 10\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \colon 10$
$\displaystyle 0{,}1$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^t$	$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}\right)}$
$\displaystyle \log_{\left(\sqrt[3]{\tfrac12}\right)}{0{,}1}$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 10$	$≈$	$\displaystyle t$

$\displaystyle f_0\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle f_0\cdot \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle f_0$	$=$	$\displaystyle 6$

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