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Im Folgenden wird die Schar der R\mathbb{R} definierten Funktionen gc: xf(x)+cg_c:\ x\mapsto f\left(x\right)+c mit cRc\in \mathbb{R} betrachtet.

  1. Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von gcg_c sowie das Verhalten von gcg_c für x +x\ \longrightarrow+\infty

    an.

  2. Die Anzahl der Nullstellen von gcg_c hängt von cc ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von cc an, sodass gilt:

    a.) gcg_c hat keine Nullstelle.

    b.) gcg_c hat genau eine Nullstelle.

    c.) gcg_c hat genau zwei Nullstellen.

  3. Begründen Sie für c>0 c>0 anhand einer geeigneten Skizze, dass

    03gc(x)dx=03(x)dx+3c\int_0^3g_c (x)dx=\int_0^3 (x)dx+3c gilt.