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Strecke im Verhältnis teilen

Man kann Strecken relativ leicht mithilfe der zentrischen Streckung teilen.

Eine typische Aufgabenstellung könnte zum Beispiel lauten:

Teile die Strecke AB=10  cm\overline{AB}=10\;\text{cm} im Verhältnis 3:23:2.

Oder allgemeiner: Teile die Stecke AB\overline{AB} im Verhältnis a:ba:b.

Was bedeutet "Teile im Verhältnis a:b"?

Wenn man eine Strecke AB\overline{AB} im Verhältnis a:ba:b teilen will, dann möchte man einen Punkt TT finden für den gilt: TATB=ab\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}=\frac ab

Strecken im Verhältnis teilen
Beachte

Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass a=TAa=\overline{TA} und/oder b=TBb=\overline{TB} gilt. Man betrachtet hier nur ein Verhältnis!

Vorgehen

Um eine solche Aufteilung zu erhalten, zerlegt man die Strecke AB\overline{AB} in a+ba+b Teilstücke. Für die Strecken TA\overline{TA} und TB\overline{TB} folgt dann:

TA=aa+bAB\overline{TA}=\frac a{a+b}\cdot\overline{AB}, sowie TB=ba+bAB\overline{TB}=\frac b{a+b}\cdot\overline{AB}

Das bedeutet also in Worten:

Wenn man eine Strecke im Verhältnis a:ba:b teilen will, versucht man die Strecke in a+ba+b Teile aufzuteilen. Dann besteht die erste Teilstrecke TA\overline{TA} aus aa solchen Teilen und die zweite Teilstrecke TB\overline{TB} aus bb solchen Teilen.

Beispiel

Die Strecke AB=10  cm\overline{AB}=10\;\text{cm} soll im Verhältnis 2:32:3 geteilt werden. Wie lang ist dann die Strecke von Punkt AA zum Teilpunkt TT?

  

Lösung: Gesucht ist die Länge der Strecke TA\overline{TA}:

TA=22+310  cm=2510  cm=4  cm\overline{TA}=\frac2{2+3}\cdot10\;\text{cm}=\frac25\cdot10\;\text{cm}=4\;\text{cm}

Alternative Herangehensweise:

Man teilt die Strecke AB\overline{AB} in 2+3=52+3=5 Teile auf, also in 55 Teile à 2  cm2\;\text{cm}. Die Teilstrecke TA\overline{TA} besteht dann aus 22 solchen Teilen, ist also 22 mal 2  cm2\;\text{cm} lang. Also 22  cm=4  cm2\cdot2\;\text{cm}=4\;\text{cm}.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8201_doGrWfc9mG.xml

Geometrische Konstruktion einer Streckenteilung

Die Strecke AB\overline{AB} soll im Verhältnis a:ba:b geteilt werden. (Im Applet ist das Verhältnis a:b=3:2a:b=3:2)

  1. Zeichne eine Gerade hh durch AA.

  2. Zeichne einen Kreis um AA, mit irgendeinem Radius rr.

  3. Zeichne einen weiteren Kreis mit demselben Radius, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des vorherigen Kreises mit der Geraden hh ist.

  4. Wiederhole dies a+ba+b mal.

  5. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt BB.

  6. Zeichne zu der gerade gezeichneten Geraden eine Parallele durch den aa-ten Schnittpunkt.

  7. Der Schnittpunkt S dieser Parallelen mit AB\overline{AB} teilt die Strecke im Verhältnis a:ba:b.

Im Applet kann man sich die Schritte mithilfe des Schiebereglers anzeigen lassen.

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