Strecke im Verhältnis teilen

Man kann Strecken relativ leicht mit Hilfe der zentrischen Streckung teilen.

Eine typische Aufgabenstellung wäre zum Beispiel:

Teile die Strecke AB=10cm\overline{AB} = 10cm im Verhältnis 3:23:2 .

Oder allgemeiner: Teile die Stecke AB\overline{AB} im Verhältnis a:ba:b .

Was bedeutet "Teile im Verhältnis a:b"?

Wenn man eine Strecke AB\overline{AB} im Verhältnis a:ba:b teilen will, dann möchte man einen Punkt T finden für den gilt: TATB=ab\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}=\frac ab

Achtung: Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass a=TAa=\overline{TA} und/oder b=TBb=\overline{TB} gilt. Man betrachtet hier nur ein Verhältnis!

Um eine solche Aufteilung zu erhalten, zerlegt man die Strecke AB\overline{AB} in a+ba+b Teilstücke. Für die Strecken TA\overline{TA} und TB\overline{TB} folgt dann:

TA=aa+bAB\overline{TA}=\frac a{a+b}\cdot\overline{AB}, sowie TB=ba+bAB\overline{TB}=\frac b{a+b}\cdot\overline{AB}

Das bedeutet also in Worten:

Wenn man eine Strecke im Verhältnis a:ba:b teilen will, versucht man die Strecke in a+ba+b Teile aufzuteilen. Dann besteht die erste Teilstrecke TA\overline{TA} aus aa solchen Teilen und die zweite Teilstrecke TB\overline{TB} aus bb solchen Teilen.

Beispiel

Die Strecke AB=10cm\overline{AB}=10cm soll im Verhältnis 2:32:3 geteilt werden. Wie lang ist dann die Strecke von Punkt A zum Teilpunkt T?

  

Lösung: Gesucht ist die Länge der Strecke TA\overline{TA}:

Alternative Herangehensweise:

Man teilt die Strecke AB\overline{AB} in 2+3=5 Teile auf, also in 5 Teile à 2 cm. Die Teilstrecke TA\overline{TA} besteht dann aus 2 solchen Teilen, ist also 2 mal 2cm lang. Also 22cm=4cm2\cdot2cm=4cm

Geometrische Konstruktion einer Streckenteilung

Die Strecke AB\overline{AB} soll im Verhältnis a:ba:b geteilt werden. (Im Applet ist das Verhältnis a:b=3:2a:b=3:2)

  1. Zeichne eine Gerade hh durch AA.

  2. Zeichne einen Kreis um AA mit irgendeinem Radius rr.

  3. Zeichne einen weiteren Kreis mit dem selben Radius, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des vorherigen Kreises mit der Geraden hh ist.

  4. Wiederhole dies a+ba+b mal.

  5. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt BB.

  6. Zeichne zu der gerade gezeichnteten Gerade eine Parallele durch den aa-ten Schnittpunkt.

  7. Der Schnittpunkt S dieser Parallelen mit AB\overline{AB} teilt die Strecke im Verhältnis a:ba:b.

Im Applet kann man sich die Schritte mit Hilfe des Schiebereglers anzeigen lassen.


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