Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x3â6x2+11xâ6 und xâR.
Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung y=xâ2 liegt. (3 BE)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Ăberlege dir zunĂ€chst, was ein Wendepunkt ist. An diesem Punkt Ă€ndert sich die KrĂŒmmungsrichtung des Graphen. Du berechnest ihn, indem du alle Punkte bestimmst, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, und die dritte Ableitung ungleich Null ist.
Leite nun die Funktion f(x)=x3â6x2+11xâ6 drei mal nach x ab. Dies ergibt:
Um nun alle Punkte zu erhalten, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, musst du fâČâČ(x) gleich Null setzen:
6xâ126xxâ=0=12=2ââŁ+12âŁ:6â
Nur fĂŒr x=2 ist die zweite Ableitung, also Null. Des Weiteren ist die dritte Ableitung immer ungleich Null, weswegen bei x=2 ein Wendepunkt vorliegt.
Um zu ĂŒberprĂŒfen, ob dieser auf der Geraden mit der Gleichung y=xâ2 liegt, musst du die y-Koordinate des Funktionsgraphen von f(x) an der Stelle x=2 ausrechnen, und dann in die Geradengleichung einsetzen.Es ergibt sich:
f(2)=23â6â 22+11â 2â6=8â24+22â6=0
Die Koordinaten des Wendepunktes sind also W(2âŁ0). Dieser Punkt erfĂŒllt die Geradengleichung y=xâ2: 2 als x-Koordinate und 0 als y-Koordinate eingesetzt ergibt 0=2â2. Dies ist eine wahre Aussage.
Deswegen liegt der Wendepunkt W(2âŁ0) der Funktion f(x)=x3â6x2+11xâ6 auf der Geraden y=xâ2.
Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2âŁ0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3âŁ2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h. Geben Sie eine Gleichung von h an. (2 BE)
Denke zuerst darĂŒber nach, um wie viel der Graph der Funktion f in x- und in y-Richtung verschoben wurde. Der Punkt (2âŁ0) besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3âŁ2). Der x-Wert hat also um 1 zugenommen und der y-Wert hat sich um 2 vergröĂert.
Im Artikel Verschiebung von Funktionen, kannst du noch mal genau nachlesen, wie sich das Verschieben von Funktionen auf den Funktionsterm auswirkt.
Der Graph der Funktion h(x) ist also um 1 nach rechts verschoben gegenĂŒber der Funktion f(x). Um den Funktionsterm von h(x) zu bestimmen, mĂŒssen wir also f(xâ1) betrachten.
Da der Graph der Funktion h(x) noch um 2 nach oben verschoben ist, ergibt sich insgesamt fĂŒr den Funktionsterm von h(x):