Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Überlege dir zunächst, was ein Wendepunkt ist. An diesem Punkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen. Du berechnest ihn, indem du alle Punkte bestimmst, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, und die dritte Ableitung ungleich Null ist.

Leite nun die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ drei mal nach x ab. Dies ergibt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} f(x)&=x^3-6x^2+11x-6 \\ f'(x)&=3x^2-12x+11 \\ f''(x)&=6x-12 \\f'''(x)&=6≠0 \end{array}$

Um nun alle Punkte zu erhalten, an denen die zweite Ableitung Null ergibt, musst du $f''(x)$ gleich Null setzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll}6x-12&=0&|+12 \\6x&=12&|:6 \\x&=2\end{array}$

Nur für $x=2$ ist die zweite Ableitung, also Null. Des Weiteren ist die dritte Ableitung immer ungleich Null, weswegen bei $x=2$ ein Wendepunkt vorliegt.

Um zu überprüfen, ob dieser auf der Geraden mit der Gleichung $y=x-2$ liegt, musst du die y-Koordinate des Funktionsgraphen von $f(x)$ an der Stelle $x=2$ ausrechnen, und dann in die Geradengleichung einsetzen.Es ergibt sich:

$f(2)= 2^3-6\cdot2^2+11\cdot2-6=8-24+22-6=0$

Die Koordinaten des Wendepunktes sind also $W(2|0)$. Dieser Punkt erfüllt die Geradengleichung $y=x-2$: $2$ als x-Koordinate und $0$ als y-Koordinate eingesetzt ergibt $0=2-2$. Dies ist eine wahre Aussage.

Deswegen liegt der Wendepunkt $W(2|0)$ der Funktion $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ auf der Geraden $y=x-2$.

Denke zuerst darüber nach, um wie viel der Graph der Funktion $f$ in x- und in y-Richtung verschoben wurde. Der Punkt $(2|0)$ besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten $(3|2)$. Der x-Wert hat also um 1 zugenommen und der y-Wert hat sich um 2 vergrößert.

Im Artikel Verschiebung von Funktionen, kannst du noch mal genau nachlesen, wie sich das Verschieben von Funktionen auf den Funktionsterm auswirkt.

Der Graph der Funktion $h(x)$ ist also um 1 nach rechts verschoben gegenüber der Funktion $f(x)$. Um den Funktionsterm von $h(x)$ zu bestimmen, müssen wir also $f(x-1)$ betrachten.

Da der Graph der Funktion $h(x)$ noch um 2 nach oben verschoben ist, ergibt sich insgesamt für den Funktionsterm von $h(x)$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}h(x)&=f(x-1)+2 \\&=(x-1)^3-6\cdot(x-1)^2+11\cdot(x-1)-6+2 \\&=(x-1)^3-6\cdot(x-1)^2+11\cdot(x-1)-4\end{array}$

Die Gleichung von $h$ ist also: $h(x)=(x-1)^3-6\cdot(x-1)^2+11\cdot(x-1)-4$

Hierfür musst du wissen, was ein Definitionsbereich und ein Wertebereich ist.

Definitionsbereich

Die Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen größer als $0$ definiert. Du berechnest also, wann das Innere des Logarithmus größer als $0$ ist.

In deiner Definitionsmenge dürfen also nur $x$-Werte sein, die größer als $\displaystyle - \frac{3}{2}$ sind. Das schreibt man als Intervall auf:

$\mathbb{D} = ] -\frac32; \infty]$

Wertebereich

Der Logarithmus "spuckt" Werte von $-\infty$ bis $+\infty$ aus, also ist $\mathbb{W} = \mathbb{R}$.

Hier musst du wissen, wie man einen Schnittpunkt berechnet und eine Tangente aufstellt.

Schnittpunkt mit der x-Achse

Zuerst berechnet man den Schnittpunkt $x_s$ des Graphen von $g$ mit der $x$-Achse, indem man den Funktionsterm gleich $0$ setzt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}\\ 0&=\ln(2x+3)& \quad|e^{()}\\\\e^0=1&=2x+3 & \quad |-3\\-2&=2x&\quad|:2\\-1&=x_s\end{array}$

Eine ln-Funktion kann man mit Hilfe der e-Funktion auflösen.

Es ist nach dem Schnittpunkt gefragt, also musst du das Ergebnis noch in Punktschreibweise angeben:

$S_x(-1|0)$

Tangente aufstellen

Anschließend ermittelt man die Steigung von $g$ an der Stelle $x_s$. Das entspricht der Ableitung von $g$ an der Stelle $x_s$. Für die Ableitung musst du wissen, wie man die ln-Funktion ableitet, und die Kettenregel verwenden:

$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2x+3}=\frac{2}{2x+3}$

Für die Steigung an der Stelle $x_s=-1$ musst du diesen Wert in die Ableitung einsetzen:

$g'(x_s)=g'(-1)=\frac{2}{2\cdot(-1)+3}=2$

Damit hat die gesuchte Tangente $t(x)=mx+n$ den Anstieg $m=2$.

Da es sich bei $x_s$ um den Schnittpunkt von $g(x)$ mit der $x$-Achse handelt, gilt $g(x_s)=g(-1)=0$.

Tangente mittels Tangentenformel

Nach der Formel für die Tangente an einen Graphen kann man die Tangentengleichung wie folgt ermitteln:

Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen

Dazu setzt du in die allgemeine Tangentengleichung $t(x)=mx+n$ zuerst die Steigung $m=2$ ein: $t(x)=2x+n$.

Nun setzt du den Tangentenpunkt $(-1|0)$ in die Tangentengleichung ein und löst nach $n$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll} 0&=&2\cdot (-1) +n\\0&=&-2+n&\qquad |+2\\n&=&2\end{array}$

Damit ist die Gleichung für die Tangente $t(x)=2x+2$.

Eine mögliche Funktion mit der angegebenen maximalen Definitionsmenge $\left]-\infty;5\right]$ ist z.B. die Funktion $g(x)=\sqrt{5-x}$

$k$ hat:

• bei $x=2$ eine Nullstelle

• bei $x=-3$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

• die Asymptote $y=1$

Bei der Nullstelle ist der Zähler der Funktion $k$ gleich null für $x=2$

$\Rightarrow\;$ Linearfaktor $(x-2)$ im Zähler.

Bei der Polstelle ist der Nenner der Funktion $k$ gleich null für $x=-3$

$\Rightarrow\;$ Linearfaktor $(x+3)$ im Nenner.

Da die Polstelle keinen Vorzeichenwechsel hat, muss der Linearfaktor im Nenner eine gerade Potenz haben.

Wenn $y=1$ Asymptote ist, dann haben die Linearfaktoren im Zähler und im Nenner die gleiche gerade Potenz.

Mögliche Funktionsgleichung: $k(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x+3)^2}$

Ebenso möglich ist auch: $k(x)=\dfrac{(x-2)^4}{(x+3)^4}$ usw.