Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a} : x \mapsto x e^{a x}$ mit $a \in ℝ ∖ {0}$ . Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung $f_{a}$ an der Stelle $x = 2$ den Wert 0 besitzt. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Für diese Aufgabe musst du Ableiten können. Außerdem schadet es nicht zu wisssen, was eine Funktionenschar genau ist.

Um herauszufinden, für welchen Wert von $a$ die Ableitung der Funktionenschar an der Stelle $x = 2$ den Wert $0$ hat, bildest du als Erstes die allgemeine Ableitung. Dafür musst du die Produktregel und die Kettenregel verwenden können sowie wissen, was die Ableitung der e-Funktion ist:

$f_{a}^{^{'}} (x) = e^{a x} + x \cdot e^{a x} \cdot a$

Nun setzt du für $x$ den Wert $2$ ein:

$f_{a}^{^{'}} (2) = e^{2 a} + 2 \cdot e^{2 a} \cdot a$

Jetzt setzt du die Funktionenschar gleich $0$ und löst nach $a$ auf:

$e^{2 a} + 2 \cdot e^{2 a} \cdot a = 0$

Klammere $e^{2 a}$ aus.

$e^{2 a} (1 + 2 a) = 0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an und setze die einzelnen Faktoren gleich $0$ .

$e^{2 a} = 0$ und $1 + 2 a = 0$

$e^{()} > 0$ : "e hoch irgendwas" ist immer größer als $0$ und damit auch nie gleich $0$ . Deswegen liefert die erste Gleichung keine Lösung.

Löse die zweite Gleichung nach a auf.

$\begin{array}{rrl} 1 + 2 a & = & 0 & | - 1 \\ 2 a & = & - 1 & | : 2 \\ a & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

Für $a = - \frac{1}{2}$ ist der Wert der Ableitung an der Stelle $x = 2$ null.

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