Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x\mapsto xe^{ax}$ mit $a\in \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}$ . Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung $f_{a}$ an der Stelle $x = 2$ den Wert 0 besitzt. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableiten

Für diese Aufgabe musst du Ableiten können. Außerdem schadet es nicht zu wisssen, was eine Funktionenschar genau ist.

Um herauszufinden, für welchen Wert von $a$ die Ableitung der Funktionenschar an der Stelle $x = 2$ den Wert $0$ hat, bildest du als Erstes die allgemeine Ableitung. Dafür musst du die Produktregel und die Kettenregel verwenden können sowie wissen, was die Ableitung der e-Funktion ist:

$f_a^{'}(x)=e^{ax}+x\cdot e^{ax}\cdot a$

Nun setzt du für $x$ den Wert $2$ ein:

$f_a^{'}(2)=e^{2a}+2\cdot e^{2a}\cdot a$

Jetzt setzt du die Funktionenschar gleich $0$ und löst nach $a$ auf:

$e^{2a}+2\cdot e^{2a}\cdot a=0$

Klammere $e^{2a}$ aus.

$e^{2a}(1+2a)=0$

Wende den Satz vom Nullprodukt an und setze die einzelnen Faktoren gleich $0$ .

$e^{2a}=0$ und $1 + 2 a = 0$

$e^{()} > 0$ : "e hoch irgendwas" ist immer größer als $0$ und damit auch nie gleich $0$ . Deswegen liefert die erste Gleichung keine Lösung.

Löse die zweite Gleichung nach a auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}1+2a&=&0&\qquad |-1\\2a&=&-1&\qquad|:2\\a&=&-\frac12\end{array}$

Für $a=-\frac12$ ist der Wert der Ableitung an der Stelle $x = 2$ null.

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