Hierfür musst du wissen, was ein Definitionsbereich und ein Wertebereich ist.

Definitionsbereich

Die Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen größer als $0$ definiert. Du berechnest also, wann das Innere des Logarithmus größer als $0$ ist.

In deiner Definitionsmenge dürfen also nur $x$-Werte sein, die größer als $\displaystyle - \frac{3}{2}$ sind. Das schreibt man als Intervall auf:

$\mathbb{D} = ] -\frac32; \infty]$

Wertebereich

Der Logarithmus "spuckt" Werte von $-\infty$ bis $+\infty$ aus, also ist $\mathbb{W} = \mathbb{R}$.

Hier musst du wissen, wie man einen Schnittpunkt berechnet und eine Tangente aufstellt.

Schnittpunkt mit der x-Achse

Zuerst berechnet man den Schnittpunkt $x_s$ des Graphen von $g$ mit der $x$-Achse, indem man den Funktionsterm gleich $0$ setzt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}\\ 0&=\ln(2x+3)& \quad|e^{()}\\\\e^0=1&=2x+3 & \quad |-3\\-2&=2x&\quad|:2\\-1&=x_s\end{array}$

Eine ln-Funktion kann man mit Hilfe der e-Funktion auflösen.

Es ist nach dem Schnittpunkt gefragt, also musst du das Ergebnis noch in Punktschreibweise angeben:

$S_x(-1|0)$

Tangente aufstellen

Anschließend ermittelt man die Steigung von $g$ an der Stelle $x_s$. Das entspricht der Ableitung von $g$ an der Stelle $x_s$. Für die Ableitung musst du wissen, wie man die ln-Funktion ableitet, und die Kettenregel verwenden:

$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2x+3}=\frac{2}{2x+3}$

Für die Steigung an der Stelle $x_s=-1$ musst du diesen Wert in die Ableitung einsetzen:

$g'(x_s)=g'(-1)=\frac{2}{2\cdot(-1)+3}=2$

Damit hat die gesuchte Tangente $t(x)=mx+n$ den Anstieg $m=2$.

Da es sich bei $x_s$ um den Schnittpunkt von $g(x)$ mit der $x$-Achse handelt, gilt $g(x_s)=g(-1)=0$.

Tangente mittels Tangentenformel

Nach der Formel für die Tangente an einen Graphen kann man die Tangentengleichung wie folgt ermitteln:

Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen

Dazu setzt du in die allgemeine Tangentengleichung $t(x)=mx+n$ zuerst die Steigung $m=2$ ein: $t(x)=2x+n$.

Nun setzt du den Tangentenpunkt $(-1|0)$ in die Tangentengleichung ein und löst nach $n$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll} 0&=&2\cdot (-1) +n\\0&=&-2+n&\qquad |+2\\n&=&2\end{array}$

Damit ist die Gleichung für die Tangente $t(x)=2x+2$.