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Gegeben ist die Funktion h:x3ex+11h:x \mapsto \frac{3}{e^{x+1}-1} mit Definitionsbereich Dh=]1;+[\mathbb{D}_h= \left]-1;+ \infty \right[. Abbildung 2 zeigt den Graphen GhG_h von hh.

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  1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass limx+h(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x)=0 gilt.

    Zeigen Sie rechnerisch für xDhx \in \mathbb{D}_h, dass für die Ableitung hh' von hh gilt: (4 BE)

    h(x)<0h'(x) \lt 0

    Gegeben ist ferner die in Dh\mathbb{D}_h definierte Integralfunktion H0:x0xh(t)dtH_0 : x \mapsto \int_{0}^{x} h(t) \mathrm{d}t.

  2. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: (4 BE)

    α)\hspace{5mm}\alpha) Der Graph von H0H_0 ist streng monoton steigend.

    β)\hspace{5mm}\beta) Der Graph von H0H_0 ist rechtsgekrümmt.

  3. Geben Sie die Nullstelle von H0H_0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0(0,5)H_0(-0{,}5) sowie H0(3)H_0(3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0H_0 im Bereich 0,5x3-0{,}5\leq x\leq3. (6 BE)