Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Zum Lösen dieser Aufgabe musst du das Erweitern von Brüchen und die binomischen Formeln beherschen.

Um die Äquivalenz zweier Terme zu zeigen, musst du sie so lange ineinander Umformen, bis sie gleich sind.

Äquivalenz zu $\frac2{(x+1)(x+3)}$

Um die Äquivalenz von $\frac1{x+1}-\frac1{x+3}$ und $\frac2{(x+1)(x+3)}$ zu zeigen, musst du $\frac1{x+1}-\frac1{x+3}$ zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Dafür erweiterst du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Zweiten mit dem Nenner des ersten Bruchs. Dann kannst du die Brüche auf einen Bruchstrich schreiben.

Also ist $\frac2{(x+1)(x+3)}$ äquivalent zu $f(x)$.

Äquivalenz zu $\frac2{x^2+4x+3}$

Im nächsten Schritt kannst du nun $\frac2{(x+1)(x+3)}$ ausmultiplizieren.

$\frac2{x^2+4x+3}$ ist also äquivalent zu $\frac2{(x+1)(x+3)}$ und damit zu $f(x)$.

Äquivalenz zu $\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$

Um zu zeigen, dass auch der Term $\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$ äquivalent zu $f(x)$ ist, multiplizierst du ihn zunächst aus.

Anschließend kannst du mit 2 erweitern.

$\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$ ist somit äquivalent zu $\frac2{x^2+4x+3}$, also auch zu $f(x)$.

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du Wissen über das Berechnen der Asymptote und die Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.

Horizontale Asymptote

Der Zählergrad der Funktion $f$ ist kleiner als der Nennergrad. Der Graph der Funktion hat also eine horizontale Asymptote mit der Gleichung $y=0$. Somit ist die waagrechte Asymptote gleich der x-Achse.

Vertikale Asymptote

Um die Geichungen für die vertikalen Asymptoten zu erhalten, musst du die Nullstellen des Nenners, also die Definitionslücken, betrachten. Bei dieser Aufgabe kannst du die Definitionslücken aus der Definitionsmenge in der Aufgabenstellung herauslesen.

Die senkrechten Asymptoten sind $x=-3$ und $x=-1$.

Schnittpunkt mit y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu erhalten, musst du für den x-Wert 0 einsetzen.

$f(0)=\frac1{0+1}-\frac1{0+3}=1-\frac13=\frac23$

Der Schnittpunk mit der y-Achse ist $\left(0|\frac23\right)$.

Zur erfolgreichen Bearbeitung dieser Aufgabe solltest Du Dich mit den Eigenschaften von Polynomen 2. Grades (Parabeln) auskennen und die Zusammenhänge von 1. Ableitung, Monotonie und Extremwert kennen.

Besonders an dieser Aufgabe ist, dass die 1. Ableitung der Funktion zur Bestimmung des Extremwerts und des Monotonieverhaltens der Funktion $f$ nicht explizit gebildet werden darf. Man muss also mit der vorgegebenen Beziehung und gesicherten Eigenschaften der Funktion argumentieren!

Der Funktionsterm $p(x)=0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5$ ist ein Polynom 2. Grades, allerdings nicht in seiner ausmultiplizierten Form ($ax^2+bx+c$), sondern in der sogenannten Scheitelform ($a(x-d)^2+e$). Wie man von der einen in die andere Form umrechnen kann, ist im Artikel über die Scheitelform nachzulesen.

Eigenschaften der Funktion $p$ sind:

• $p$ ist ein Polynom 2-ten Grades, denn $x$ kommt mit Exponent $2$ vor

• $p$ hat Nullstellen bei $x=-1$ und $x=-3$, das steht direkt in der Angabe

• Der Graph der Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel bei $x=-2$. Das erkennt man am positiven Faktor $0{,}5$ vor der Klammer.

• Eine Parabel ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt

• Dazu passt, dass die beiden Nullstellen symmetrisch zum $x-$Wert des Scheitels ($-2$) liegen

• Am Scheitel liegt je nach Öffnung der Parabel ein Mimimum oder ein Maximum vor. Weil diese Parabel nach oben geöffnet ist, liegt an der Stelle $x=-2$ ein Minimum vor

• Am Scheitel einer Parabel ist die Steigung Null.

Folgerungen aus den Eigenschaften

• $p'(-2)=0$ , denn am Scheitel liegt eine horizontale Tangente vor. Das ist auch schon die einzige Nullstelle der Ableitung bei einer Parabel!

• Links vom Scheitel ist der Graph von $p$ fallend, rechts davon steigend

Verwendung der vorgebenen Beziehung

Mit der Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ werden nun Eigenschaften des Terms $p'(x)$ (Nullstelle und Vorzeichen) auf den Term $f'(x)$ übertragen.

Im Nenner der zu verwendenden Beziehung kommt nur der quadratische Ausdruck $p(x)^2$ vor. Als Quadrat ist er stets größer Null. Das vorangestellte Minuszeichen in der Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ führt dazu, dass das Vorzeichen von $f'(x)$ stets entgegen dem Vorzeichen von $p'(x)$ ist.

• Auch $f'$ hat genau eine Nullstelle und zwar bei $x=-2$ , denn der Quotient hat genau dann den Wert Null, wenn der Zähler Null ist, also $p'(x)=0$.

• $f'(x)>0$ für $x\in ]-3;-2[$ , d. h. $G_f$ ist in diesem Intervall streng monoton steigend

• $f'(x)<0$ für $x\in ]-2;-1[$ , d. h. $G_f$ ist in diesem Intervall streng monoton fallend

• Da Steigen in Fallen übergeht, liegt ein Maximum vor.

• Für die Lage des Extrempunkts ist der $x$-Wert in den Funktionsterm einzusetzen, das ergibt: $f(-2)=-2$.

Daher hat $f$ einen Hochpunkt bei $(-2|-2)$ .

Zum Lösen dieser Aufgabe ist der Artikel zum Graph einer Funktion hilfreich.

Berechnen der Punkte

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(-5)&=\frac1{0{,}5\cdot(-5+2)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot(-3)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot9-0{,}5} \\&=\frac1{4{,}5-0{,}5} \\&=\frac14\end{aligned}$

$P_1 \left(-5|\frac14\right)$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(-1{,}5)&=\frac1{0{,}5\cdot(-1{,}5+2)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot(0{,}5)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot0{,}25-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}125-0{,}5} \\&=\frac1{-0{,}375}\end{aligned}$

$P_2 \left(-1{,}5|\frac1{-0{,}375}\right)$

Skizze

Beim Skizzieren des Graphen musst du darauf achten, dass du die Asymptoten (gestrichelte Linie), die Extrempunkte (Hop) und Monotonie, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sy), so wie die berechneten Punkte ($P_1 \text{ und } P_2$) einzeichnest.

Zum Lösen dieser Aufgabe musst du die Grenzwertbetrachtung und die Ableitungsregeln beherrschen.

Grenzwert

Bei der Betrachtung des Grenzwertes musst du dir überlegen wie sich Zähler und Nenner im Unendlichen Verhalten. Da der Zähler konstant 3 bleibt reicht es den Nenner anzuschauen. Für diesen gilt $\lim_{x \rightarrow \infty}e^{x+1}-1=+\infty$, sodass der konstante Wert 3 im Unendlichen durch eine Unendlich große Zahl geteilt wird. Also ist der Grenzwert:$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac3{e^{x+1}-1}=0$

Ableitung

Um zu zeigen, dass $h'(x)<0$ musst du zunächst die Ableitung berechnen.

$h(x)=\frac{3}{e^{x+1}-1}$

Wende die Quotientenregel an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}h'(x)&=\frac{(e^{x+1}-1)\cdot0-3\cdot e^{x+1}}{(e^{x+1}-1)^2} \\&=\frac{-3e^{x+1}}{(e^{x+1}-1)^2}\end{aligned}$

Vereinfachen.

Da der Nenner durch das Quadrat immer positiv ist reicht es den Zähler zu betrachten. Der Zähler wiederum wird durch die Multiplikation mit $-3$ immer negativ.

Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Integrale, Krümmung und Monotonie.

Der Graph von $H_0$ ist streng monoton steigend

Zunächst solltest du dir noch einmal bewusst machen, dass die Integralfunktion in einem Bereich die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ausgibt. Die Funktion $h(x)$ hat keine Nullstellen und der Graph nähert sich der x-Achse zwar immer weiter an, ohne dabei aber die Achse zu schneiden. Somit wird die Fläche zwischen Graph und x-Achse immer größer und damit steigt auch die Integralfunktion streng monoton.

Der Graph von $H_0$ ist Rechtsgekrümmt

Als erstes solltest du dir noch einmal bewusstmachen, was Krümmung überhaupt bedeutet und wie du sie zeigen kannst. Ein Graph ist nämlich genau dann rechtsgekrümmt, wenn seine zweite Ableitung negativ, also kleiner als 0 ist. Jede Integralfunktion ist auch eine Stammfunktion der Funktion. Also ist $h(x)$ die erste und $h'(x)$ die zweite Ableitung zu $H_0$. Dass $h'(x)$ negativ ist hast du aber in Teilaufgabe a) bereits gezeigt. Somit ist $H_0$ rechtsgekrümmt.

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du dich mit Integralen, Integralfunktionen und er Berechnung von Flächeninhalten von Dreieck und Trapez auskennen.

Nullstelle von $H_0$

Eine Integralfunktion hat eine Nullstelle, wenn obere und untere Grenze des Integrals übereinstimmen. Die Nullstelle ist im unserem Fall also bei $x=0$. Die Nullstelle ist also (0|0). Da die Funktion $h(x)$ ausschließlich im Positiven verläuft ist dies die einzige Nullstelle.

Berechnung der Punkte

Da die Integralfunktion den Flächeninhalt den der Graph mit der X-Achse einschließt angibt, kannst du indem du diesen Flächeninhalt näherungsweise bestimmst auch den Funktionswert der Integralfunktion annähern.

Berechnen von $H_0(-0{,}5)$

In Fall von $H_0(-0{,}5)$ bietet sich für die Annäherung ein Trapez an.

Jetzt musst du nur noch den Flächeninhalt des in der Graphik zu sehenden Trapezes berechnen. Die längen der Strecken kannst du dabei ganz einfach aus den Koordinaten der Eckpunkte ablesen. Die Eckpunkte die du brauchst sind $B(-0{,}5|0), C(0|1{,}5)\text{ und } D(-0{,}5|4{,}5)$. Die Strecken d und a sind Parallel zueinander und b steht senkrecht auf beiden, kann also als höhe verwendet werden.

$A_{Trapez}=\left(\frac{4{,}5+1{,}5}{2}\right)\cdot 0{,}5=3\cdot 0{,}5=1{,}5$

Der Flächeninhalt beträgt also 1,5. Da der betrachtete Bereich aber in negativer x-Richtung liegt ist $H_0(-0{,}5)\approx-1{,}5$.

Berechnen von $H_0(3)$

Bei $H_0(3)$ bietet es sich an zur Annäherung ein Dreieck zu verwenden.

Um den Flächeninhalt des abgebildeten Dreiecks zu berechnen kannst du die längen der benötigten Strecken erneut aus den Koordinaten den Eckpunkte ablesen. In diesem Fall sind es die Punkte $E(0|1)\text{ und } F(3|0)$.

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=1{,}5$

Der Flächeninhalt ist also 1,5 und $H_0(3)\approx1{,}5$.

Graph

Beim zeichnen des Graphen musst du darauf achten die Monotonie, das Krümmungsverhalten, die Nullstellen und die berechneten Punkte einzuzeichnen.

Gegeben: $h(x)=\frac3{e^{x+1}-1}$

Gesucht: Zeitpunkt $x$, zu dem die Schadstoffabbaurate $0{,}01$ Gramm pro Minute beträgt.

Setze also den Funktionswert von $h$ gerade gleich $0{,}01$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} h(x)&=&0{,}01&\vert\text{Ansatz}\\ \frac3{e^{x+1}-1}&=&0{,}01&\\ \frac3{0{,}01}&=&e^{x+1}-1&\\ 300+1&=&e^{x+1}&\vert\ln \\ \ln(301)&=&x+1&\\ x&=&\ln(301)-1&\\ x&=&4{,}7& \end{array}$

Bei der Auflösung nach $x$ wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion verwendet.

Nach $4{,}7$ min ist die Schadstoffabbaurate auf die geforderten $0{,}01$ Gramm pro Minute abgesunken.

Ein Vergleich des Terms $k(x)$ mit $f(x)$ aus Aufgabe 1a zeigt:

In zwei Schritten wird also aus dem Term $f(x)$ der Term $k(x)$ und ensprechend in 2 Schritten aus dem Graphen $G_f$ der Graph $G_k$.

• Ausgangslage: $f(x)$ mit $G_f$

• Schritt 1: Multiplikation mit 3, alle Funktionswerte werden verdreifacht, das entspricht einer Streckung des Graphen mit dem Faktor 3 in $y$-Richtung

• Schritt 2: Subtraktion des Wertes $0{,}2$. Von jedem Funktionswert werden $0{,}2$ abgezogen, das entspricht einer Verschiebung des Graphen um 0,2 in negativer $y$-Richtung.

Hinweis: Die Reihenfolge von Verschieben und Strecken ist keineswegs egal! So wie im Term $k(x)=3\cdot f(x)-0{,}2$ Punkt vor Strich gilt, also zuerst das Produkt $3\cdot f(x)$ zu berechnen ist, so muss der Graph $G_f$ zuerst gestreckt werden!

Wie sich aus der Graphen $G_k$ nach und nach aus dem Graph $G_f$ ergibt siehst Du auch in diesem Applet:

.$k(x)$ enthält den Teil-Term $\frac{1}{x+1}$. Eine Stammfunktion dazu ist

Analog dazu ist:

Damit kann nun das gesuchte Integral bestimmt werden:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\int_0^1h(x)\text{d}x &\approx&\int_0^1k(x)\text{d}x\\ &=&\int_0^13\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\right)-0{,}2\text{d}x\\ &=&\left[3\left(\ln(x+1)-\ln(x+3)\right)-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&\left[3\ln\frac{x+1}{x+3}-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&3\ln\frac24-0{,}2\cdot1-3\ln\frac13\\&=&1{,}0\end{array}$

Weil $k(x)$ als lokale Schadstoffänderungsrate definiert wurde, ist das bestimmte Integral eine Näherung für die Schadstoffänderung. In der ersten Minute verringert sich die Schadstoffmenge um etwa $1{,}0$ g.