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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=1x+11x+3 und Definitionsbereich 𝔻f={3;1}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei Terme äquivalent ist: (4 BE)

      2(x+1)(x+3);2x2+4x+3;10,5(x+2)20,5

    2. Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gfist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse. (3 BE)

      Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion

      p:x0,5(x+2)20,5, die die Nullstellen x=3 und x=1 hat.

      Für x𝔻f gilt f(x)=1p(x).

      Bild
    3. Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f und p die Beziehung f(x)=p(x)(p(x))2 für x𝔻f.

      Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f(x) und p(x), dass x=2 einzige Nullstelle von f ist und dass Gf in ]3;2[ streng monoton steigend sowie in ]2;1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf an. (5 BE)

    4. Berechnen Sie f(5) und f(1,5) und skizzieren Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. (4 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion h:x3ex+11 mit Definitionsbereich 𝔻h=]1;+[. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gh von h.

    Bild
    1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass limx+h(x)=0 gilt.

      Zeigen Sie rechnerisch für x𝔻h, dass für die Ableitung h von h gilt: (4 BE)

      h(x)<0

      Gegeben ist ferner die in 𝔻h definierte Integralfunktion H0:x0xh(t)dt.

    2. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: (4 BE)

      α) Der Graph von H0 ist streng monoton steigend.

      β) Der Graph von H0 ist rechtsgekrümmt.

    3. Geben Sie die Nullstelle von H0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0(0,5) sowie H0(3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0 im Bereich 0,5x3. (6 BE)

  3. 3

    In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

    1. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. (3 BE)

      Die in {3;1} definierte Funktion k:x3(1x+11x+3)0,2 stellt im Bereich 0,5x2 eine gute Näherung für die Funktion h dar.

    2. Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion f aus Aufgabe 1 hervorgeht. (2 BE)

    3. Berechnen Sie einen Näherungswert für 01h(x)dx, indem Sie den Zusammenhang 01h(x)dx01k(x)dx verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (5 BE)


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