Die Funktion $h:t\mapsto 70+30\cdot \ln (3t+2)h:\; t\; \backslash mapsto\; 70\; +\; 30\; \backslash cdot\; \backslash ln(3t+2)$ beschreibt die Höhe des Setzlings in Abhängigkeit der Zeit $tt$ beschreibt. Um die Aufgabe zu lösen, setze die Werte $00$ und $240240$ ein und rechne aus:

$h(0)=70+30\cdot \ln (3\cdot 0+2)\approx 90,8h(0)=70+30\backslash cdot\backslash ln(3\backslash cdot0+2)\backslash approx90\{,\}8$

$h(240)=70+30\cdot \ln (3\cdot 240+2)\approx 267,5h(240)\; =\; 70\; +\; 30\; \backslash cdot\; \backslash ln(3\; \backslash cdot\; 240\; +2)\; \backslash approx\; 267\{,\}5$

Der Setzling hatte bei der Pflanzung eine Höhe von $90,8cm90\{,\}8\; \backslash \; cm$ und am Ende der Wachstumsperiode $267,5cm267\{,\}5\; \backslash \; cm$.

Suche den Zeitpunkt $tt$, zu dem die Bäume die Höhe von $250cm250\backslash \; cm$ genau erreichen. Setze dafür die Funktion $hh$ gleich $250250$ und löse nach $tt$ auf:

$h(t)=250h(t)=250$

$70+30\cdot \ln (3t+2)=25070+30\backslash cdot\; \backslash ln\; (3t+2)=250$

$\iff 30\cdot \ln (3t+2)=180\backslash Leftrightarrow\; 30\backslash cdot\; \backslash ln\; (3t+2)=180$

$\iff \ln (3t+2)=6\backslash Leftrightarrow\; \backslash ln\; (3t+2)=6$

$\iff 3t+2=e^6\backslash Leftrightarrow\; 3t+2=e^6$

$\iff t=\frac{e^6-2}{3}\approx 133,8\backslash Leftrightarrow\; t=\backslash frac\{e^6-2\}\{3\}\backslash approx\; 133\{,\}8$

Dabei wurde im vorletzten Schritt beide Seiten exponiert. Auf der linken Seite kürzt sich dann wegen $e^{\ln (3t+2)}=3t+2e^\{\backslash ln(3t+2)\}=3t+2$ der Logarithmus raus.

Damit müssen mehr als 134 Monate vergehen, bis die Bäume Murenabgänge verhindern können. Das sind ungefähr $\frac{134}{12}\approx 11,2\backslash frac\{134\}\{12\}\backslash approx\backslash \; 11\{,\}2$ Jahre. Das heißt, es müssen mindestens 12 Jahre vergehen, bis die Bäume stark genug verwurzelt sind.

Die Funktion $hh$ beschreibt die Höhe der Setzlinge. Wenn du die Funktion $hh$ ableitest, dann beschreibt das die Änderung der Höhe, damit also die Wachstumsrate. Berechne also die Ableitung von $hh$:

$h^{\mathrm{\prime }}(t)=(70{)}^{\mathrm{\prime }}+30\cdot (\ln (3t+2){)}^{\mathrm{\prime }}=30\cdot (\ln (3t+2){)}^{\mathrm{\prime }}h\text{'}(t)=(70)\text{'}+30\backslash cdot(\backslash ln(3t+2))\text{'}=30\backslash cdot(\backslash ln(3t+2))\text{'}$

Die Summe lässt sich getrennt ableiten, der erste Summand fällt als Konstante weg. Um den zweiten Summand abzuleiten, benötigst du die Kettenregel. Dabei ist die innere Funktion $3t+23t+2$, ihre Ableitung ist 3 (Stichwort Nachdifferenzieren). Damit gilt

$(\ln (3t+2){)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{3t+2}\cdot 3=\frac{3}{3t+2}(\backslash ln\; (3t+2))\text{'}=\backslash frac\{1\}\{3t+2\}\backslash cdot\; 3=\backslash frac\{3\}\{3t+2\}$

Insgesamt gilt also

$h^{\mathrm{\prime }}(t)=30\cdot \frac{3}{3t+2}=\frac{90}{3t+2}h\text{'}(t)=30\backslash cdot\; \backslash frac\{3\}\{3t+2\}=\backslash frac\{90\}\{3t+2\}$

Nun suchst du die höchste Wachstumsrate und damit das Maximum von $h^{\mathrm{\prime }}h\text{'}$.

Du siehst, dass $h^{\mathrm{\prime }}h\text{'}$ eine Hyperbel ist, die ihre Polstelle bei $t=-\frac{2}{3}t\; =\; -\backslash frac\{2\}\{3\}$ hat. Als monoton fallende Funktion im Bereich $t>-\frac{2}{3}t\; >\; -\backslash frac23$ muss also die Stelle 0 das Maximum im Intervall $[0,240][0\{,\}240]$ sein.