Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma $A B C D E F$ mit $A (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (8 ∣ 0 ∣ 0)$ , $C (0 ∣ 8 ∣ 0)$ und $D (0 ∣ 0 ∣ 4)$

Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte $B$ und $F$ . (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte ist der Betrag des Differenzvektors zu berechnen - Stichwort: Pythagoras!
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(B,F) &= \\ &= \left|\overrightarrow{BF}\right| \\ &= \left|\vec{f}-\vec{b}\right| \end{aligned}$
Spätestens jetzt müssen die Koordinaten von $F$ geklärt werden: Da es sich um eine gerades Prisma handelt, befindet sich der Punkt $F$ 4 Längeneinheiten in $x_{3}$ -Richtung über Punkt $C$ , daher sind die Koordinaten von $F$ : $(0 ∣ 8 ∣ 4)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(B,F) &= \left|\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\right| \\ &= \left|\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}\right| \\ &= \sqrt{(-8)^2+8^2+4^2} =\sqrt{144}\\ &= 12\end{aligned}$
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Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten $[A D]$ bzw. $[B C]$ . Der Punkt $K (0 ∣ y_{K} ∣ 4)$ liegt auf der Kante $[D F]$ . Bestimmen Sie $y_{K}$ so, dass das Dreieck KMP in M rechtwinklig ist. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte
Rechtwinkligkeit zwischen zwei Vektoren, weist man am einfachsten nach, in dem man zeigt, dass das entsprechende Skalarprodukt den Wert 0 hat!
Die beiden Schenkel $\overrightarrow{MK}$ und $\overrightarrow{MP}$ werden wie schon in Teilaufgabe a) als Differenvektoren berechnet. Somit ist nun also der Ansatz:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix}0\\y_k\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix} &= 0 \\ 4y_k-4&=0 \\ y_k&=1\end{aligned}$
Wenn der Punkt $K$ die Koordinaten $(0 ∣ 1 ∣ 4)$ hat, hat das Dreieck $K M P$ bei $M$ einen rechten Winkel!
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