In dieser Teilaufgabe sollst du das Trapez $A_2{B}_2{C}_{2}DA\_2B\_2C\_2D$ für $\phi ={40}^{\circ }\backslash varphi=40^\{\backslash circ\}$ in die angegebene Zeichnung einzeichnen. Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Punkte $DD$ und $SS$ unter allen Winkeln $\phi \backslash varphi$ festbleiben. Die Länge der Strecke $[A_2{B}_2][A\_2B\_2]$ ist wieder $4\text{cm}4\backslash ;\backslash text\{cm\}$ lang und der Punkt $C_{2}C\_2$ liegt auf derselben Höhe wie $DD$.

Um herauszufinden, wo die Punkte $A_2,B_{2}A\_2,\; B\_2$ und $C_{2}C\_2$ genau liegen, zeichnest du zuerst den Winkel ${\phi }_2={40}^{\circ }\backslash varphi\_2\; =\; 40^\{\backslash circ\}$ mit Hilfe deines Geodreiecks an die Gerade $SDSD$ ein.

Du weißt, dass $\overline{A_1{B}_1}=4\text{cm}\backslash overline\{A\_1B\_1\}\; =\; 4\backslash ;\backslash text\{cm\}$ ist, um also $B_{2}B\_2$ zu finden, zeichnest du eine Gerade durch $B_{1}B\_1$ parallel zur Geraden $SDSD$. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Geraden ist $B_{2}B\_2$.

$C_{2}C\_2$ findest du, indem du die Strecke $[D{C}_1][DC\_1]$ verlängerst.

$A_{2}A\_2$ liegt auf der selben Höhe wie $B_{2}B\_2$ und auf der Geraden $SDSD$.

In dieser Teilaufgabe sollst du die Streckenlängen $\overline{D{C}_n}\backslash overline\{DC\_n\}$ und $\overline{S{A}_n}\backslash overline\{SA\_n\}$ in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$ darstellen. Diese Art von Aufgaben erscheinen durch ihre Schreibweise und der Anzahl an unbekannten Variablen anfangs immer sehr schwierig. Es empfiehlt sich daher, dass du dich Schritt für Schritt mit deinem Wissen und den bekannten Informationen versuchst heranzutasten.

Zu $\overline{D{C}_n}\backslash overline\{DC\_n\}$:

Es soll gelten: $\overline{D{C}_n}(\phi )=3\cdot tan(\phi )\text{cm}\backslash overline\{DC\_n\}(\backslash varphi)=3\backslash cdot\; tan(\backslash varphi)\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

Wenn du genau hinschaust, stellst du fest, dass alle drei Größen, $[D{C}_n],\overline{SD}=3\text{cm}[DC\_n],\; \backslash overline\{SD\}\; =3\backslash ;\backslash text\{cm\}$ und $\phi \backslash varphi$ in deiner gesuchten Gleichung in dem oberen Dreieck auftauchen ($\phi \backslash varphi$ wird mit dem Tangens operiert).

Da du den Tangens kennst, solltest du ihn für dieses rechtwinklige Dreieck mal aufstellen:

$\tan (\phi )={\displaystyle \frac{\overline{D{C}_n}}{\overline{SD}}}={\displaystyle \frac{\overline{D{C}_n}}{3\text{cm}}}\backslash tan(\backslash varphi)=\backslash dfrac\{\backslash overline\{DC\_n\}\}\{\backslash overline\{SD\}\}=\backslash dfrac\{\backslash overline\{DC\_n\}\}\{3\backslash ;\backslash text\{cm\}\}$

Jetzt lässt sich die Lösung bereits erahnen, multipliziere beide Seiten mit $3\text{cm}3\backslash ;\backslash text\{cm\}$.

$\Rightarrow \overline{D{C}_n}=3\text{cm}\cdot tan(\phi )\backslash Rightarrow\; \backslash overline\{DC\_n\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; tan(\backslash varphi)$

Du wunderst dich vielleicht noch, warum in der Aufgabenstellung hinter dem $\overline{D{C}_n}\backslash overline\{DC\_n\}$ ein ($\phi \backslash varphi$) steht. Dies zeigt dir den funktionellen Zusammenhang zwischen dem Winkel und der Länge der Strecke $[D{C}_n][DC\_n]$.

Stell dir eine beliebige Funktion vor, z.B.: $f(x)=x+3f(x)=x\; +\; 3$

Links siehst du, in welche Variable du die Zahlen einsetzt, nämlich $xx$, da diese "unbekannt" ist. So kannst du es dir auch in unserer Aufgabe vorstellen, denn der Winkel ist unbekannt und variiert (siehe Aufgabe A 1.1 ), dementsprechend verändert sich die Länge der Strecke $[D{C}_n][DC\_n]$.

Du erhältst also eine Funktion: $\overline{D{C}_n}(\phi )=3\text{cm}\cdot \tan (\phi )\backslash overline\{DC\_n\}(\backslash varphi)=3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi)$

Zu $\overline{S{A}_n}\backslash overline\{SA\_n\}$:

Es soll gelten: $\overline{S{A}_n}(\phi )={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}\backslash overline\{SA\_n\}(\backslash varphi)=\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}$.

Diese Aufgabe funktioniert ähnlich, wieder siehst du, dass du den Tangens benutzen sollst, also stellst du diesen auch hier am besten einfach mal auf.

Suche dir dazu die Größen, die in deiner gesuchten Gleichung auftauchen, dann wirst du feststellen, dass es sich um das große Dreieck handelt.

$\tan (\phi )={\displaystyle \frac{\overline{A_n{B}_n}}{\overline{S{A}_n}}}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\overline{S{A}_n}}}\backslash tan(\backslash varphi)=\backslash dfrac\{\backslash overline\{A\_nB\_n\}\}\{\backslash overline\{SA\_n\}\}=\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash overline\{SA\_n\}\}$

Löse auch hier wieder nach der gesuchten Größe auf. Multipliziere daher zuerst beide Seiten mit $\overline{S{A}_n}\backslash overline\{SA\_n\}$

$\Rightarrow \tan (\phi )\cdot \overline{S{A}_n}=4\text{cm}\backslash Rightarrow\; \backslash tan(\backslash varphi)\backslash cdot\; \backslash overline\{SA\_n\}=4\backslash ;\backslash text\{cm\}$

Um $\overline{S{A}_n}\backslash overline\{SA\_n\}$ alleine auf der linken Seite zu erhalten, dividiere durch $\tan (\phi )\backslash tan(\backslash varphi)$

$\Rightarrow \overline{S{A}_n}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}\backslash Rightarrow\; \backslash overline\{SA\_n\}=\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}$

Auch hier gilt wieder der funktionelle Zusammenhang, daher erhältst du am Ende

$\overline{S{A}_n}(\phi )={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}\backslash overline\{SA\_n\}(\backslash varphi)=\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}$.

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen an dreidimensionalen Körpern.

Überlege dir, welche dreidimensionale Figur entsteht, wenn das Dreieck $S{A}_n{B}_{n}SA\_nB\_n$ um die Achse $\overline{S{A}_n}\backslash overline\{SA\_n\}$ rotiert. Mit etwas räumlichem Vorstellungsvermögen erkennst du, dass ein Kegel entsteht.

Die Schwierigkeit besteht jedoch darin zu erkennen, dass die Spitze des Kegels nicht zu unserem Volumen gehört, da unsere Grundfläche ein Trapez und kein Dreieck ist.

Der gesuchte Rotationskörper ist die entstehende blaue Figur, der rote Bereich wird dabei nicht mitgezählt, es entsteht ein sogenannter Kegelstumpf. Dennoch gestaltet sich die Berechnung des Volumens am leichtesten, wenn du zunächst das Volumen des großen Kegels $S{A}_n{B}_{n}SA\_nB\_n$ berechnest und dann das Volumen des kleineren Kegels $SD{C}_{n}SDC\_n$ abziehst.

Wie du weißt, berechnet sich das Volumen eines Kegels mit:

$V_{Kegel}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot r^2\cdot \pi \cdot hV\_\{Kegel\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; G\; \backslash cdot\; h\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; h$

Versuche nun, diese Formel auf unsere Figuren anzuwenden.

$V_{S{A}_n{B}_n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{A_n{B}_n}}^2\cdot \pi \cdot \overline{S{A}_n}V\_\{SA\_nB\_n\}=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{A\_nB\_n\}^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\backslash overline\{SA\_n\}$

$V_{SD{C}_n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\overline{D{C}_n}}^2\cdot \pi \cdot \overline{SD}V\_\{SDC\_n\}=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{DC\_n\}^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\backslash overline\{SD\}$

Aus der Angabe weißt du, dass $\overline{A_n{B}_n}=4\text{cm}\backslash overline\{A\_nB\_n\}=4\backslash ;\backslash text\{cm\}$ und $\overline{SD}=3\text{cm}\backslash overline\{SD\}\; =\; 3\backslash ;\backslash text\{cm\}$

Aus Teilaufgabe (b) weißt du, dass $\overline{S{A}_n}={\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}\backslash overline\{SA\_n\}=\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}$ und $\overline{D{C}_n}=3\text{cm}\cdot \tan (\phi )\backslash overline\{DC\_n\}=3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi)$

Aus der Aufgabenstellung in Teilaufgabe (c) kannst du bereits erahnen, dass du dies einsetzen musst, da in der finalen Formel der Tangens vorkommen muss!

Setze nun alle bekannten Größen in die Volumenformeln ein:

$V_{S{A}_n{B}_n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 16{\text{cm}}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}V\_\{SA\_nB\_n\}=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; 16\backslash ;\backslash text\{cm\}^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}$

$V_{SD{C}_n}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (3\text{cm}\cdot \tan (\phi ){)}^2\cdot \pi \cdot 3\text{cm}V\_\{SDC\_n\}=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; (3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi))^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 3\backslash ;\backslash text\{cm\}$

Um also auf das gesuchte Volumen $V(\phi )V(\backslash varphi)$ des Kegelstumpfes in Abhängigkeit von $\phi \backslash varphi$ zu kommen, musst du noch das Volumen des kleinen Kegels vom Volumen des großen Kegels abziehen.

$V(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 16{\text{cm}}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (3\text{cm}\cdot \tan (\phi ){)}^2\cdot \pi \cdot 3\text{cm}V(\backslash varphi)=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; 16\backslash ;\backslash text\{cm\}^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}\; -\; \backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; (3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi))^2\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 3\backslash ;\backslash text\{cm\}$

In der Aufgabenstellung siehst du, dass ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \backslash dfrac\{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash pi$ ausgeklammert wurde, daher solltest du dies auch jetzt schon tun, um dich in der Rechnung nicht zu verwirren!

$V(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot (16{\text{cm}}^2\cdot {\displaystyle \frac{4\text{cm}}{\tan (\phi )}}-(3\text{cm}\cdot \tan (\phi ){)}^2\cdot 3\text{cm})V(\backslash varphi)=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; \backslash left(16\backslash ;\backslash text\{cm\}^2\; \backslash cdot\backslash dfrac\{4\backslash ;\backslash text\{cm\}\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}\; -\; (3\backslash ;\backslash text\{cm\}\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi))^2\; \backslash cdot\; 3\backslash text\{cm\}\backslash right)$

Schließlich verrechnest du alle Zahlen in der Klammer und hängst die Einheit ${\text{cm}}^3\backslash text\{cm\}^3$ hinten an.

$V(\phi )={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot ({\displaystyle \frac{64}{\tan (\phi )}}-27\cdot \tan (\phi {)}^2){\text{cm}}^{3}V(\backslash varphi)=\backslash dfrac\; \{1\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{64\}\{\backslash tan(\backslash varphi)\}\; -\; 27\backslash cdot\; \backslash tan(\backslash varphi)^2\backslash right)\backslash ,\backslash text\{cm\}^3$

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe anschauen.