Aufgaben zur Lage von Punkten - lernen mit Serlo!

Untersuche, ob der Punkt in der gegebenen Ebene liegt.

$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $P\left(-1|2|1\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &-1&=&1-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II} &2&=&-3+3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III} &1&=&2+1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I'} &-2&=&-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II'} &5&=&3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III'} &-1&=&1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot\mathrm{I'}+2\cdot\mathrm{II'}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;3\cdot\mathrm{I'}:&-6&=&-6\cdot r&+&9\cdot s&\\+\;2\cdot\mathrm{II'}: &10&=&+6\cdot r&-&8 \cdot s&\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;=\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;1\cdot s\;\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow s=4$

Setze $s=4$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein und du erhältst:

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3 \cdot s$
	↓	setze $s=4$ ein
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -2 \cdot r+3\cdot 4$	$\displaystyle +2\cdot r$
$\displaystyle -2+2 \cdot r$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 7$

Mit den Werten $r=7$ und $s=4$ werden die Gleichungen $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III'}$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{II'}$ erhältst du:

$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r-4 \cdot s$
	↓	setze $r=7$ und $s=4$ ein
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 3 \cdot 7-4\cdot 4$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 21-16$
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 5\; \checkmark$

Für Gleichung $\mathrm{III'}$ erhältst du:

$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot r-2 \cdot s$
	↓	setze $r=7$ und $s=4$ ein
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 1\cdot7-2\cdot4$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle 7-8$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle -1\; \checkmark$

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $Q\left(2|5|-3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Der Ortvektor des Punktes $P$ wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

So erhältst du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &2&=&1-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II} &5&=&-3+3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III} &-3&=&2+1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Umgeformt ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I'} &1&=&-2\cdot r+3 \cdot s\\&\mathrm{II'} &8&=&3\cdot r-4 \cdot s \\&\mathrm{III'} &-5&=&1\cdot r-2 \cdot s\end{array}$

Um eine Variable zu eliminieren rechnest du z.B. $3\cdot\mathrm{I'}+2\cdot\mathrm{II'}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;3\cdot\mathrm{I'}:&3&=&-6\cdot r&+&9\cdot s&\\+\;2\cdot\mathrm{II'}: &16&=&+6\cdot r&-&8 \cdot s&\end{array}$

$\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;19\;\;\;=\;\;\;\;\;0\cdot r\;\;\;+\;\;\;1\cdot s\;\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow s=19$

Setze $s=19$ in Gleichung $\mathrm{I'}$ ein und du erhältst:

$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3 \cdot s$
	↓	setze $s=19$ ein
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -2\cdot r+3\cdot19$	$\displaystyle +2\cdot r$
$\displaystyle 1+2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 57$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 2\cdot r$	$=$	$\displaystyle 56$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 28$

Mit den Werten $r=28$ und $s=19$ werden die Gleichungen $\mathrm{II'}$ und $\mathrm{III'}$ überprüft.

Für Gleichung $\mathrm{II'}$ erhältst du:

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 3\cdot r-4 \cdot s$
	↓	setze $r=28$ und $s=19$ ein
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 3\cdot28-4\cdot19$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 84-76$
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 8\; \checkmark$

Für Gleichung $\mathrm{III'}$ erhältst du:

$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 1\cdot r-2 \cdot s$
	↓	setze $r=28$ und $s=19$ ein
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 1\cdot28-2\cdot19$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle 28-38$
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle -10$
	↓	falsche Aussage

Der Punkt Q erfüllt nicht alle drei Ebenengleichungen, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

$E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$ und $P\left(2|-1|2\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $P$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1\cdot 1+(-4)\cdot (-1)+4\cdot0=1+4+0=5\neq 0$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec X$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein.
$E:\;\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\vec X-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$ und $Q\left(1|1|3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Der Ortvektor des Punktes $Q$ wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\left[\\\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$
Berechne die Differenz der beiden Vektoren in der Klammer:
$\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$1\cdot 0+(-4)\cdot (-1)+4\cdot(-1)=0+4-4=0\;\checkmark$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu setzt du für den Vektor $\vec X$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $Q$ ein.
$E: 2x_1-4x_2+z-3=0$ und $P\left(1|1|5\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $P\left(1|1|5\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:
$2\cdot 1-4\cdot1+5-3=2-4+5-3=0\;\checkmark$
Der Punkt $P$ erfüllt die Ebenengleichung, d.h. er liegt in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $P$ in die Ebenengleichung eingesetzt.
$E: 2x_1-4x_2+z-3=0$ und $Q\left(3|1|6\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Setze $Q\left(3|1|6\right)$ in $2x_1-4x_2+z-3=0$ ein:
$2\cdot 3-4\cdot1+6-3=6-4+6-3=5\neq 0$
Der Punkt $Q$ erfüllt die Ebenengleichung nicht, d.h. er liegt nicht in der Ebene.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn er die Ebenengleichung erfüllt. Dazu wird der Ortvektor des Punktes $Q$ in die Ebenengleichung eingesetzt.