Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $3; - 5,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 5,5$ ". Bei einer leeren Lösungsmenge schreibe "leer".

$2 (x - 2)^{2} - 32 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle 2(x-2)^2-32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +32$
	↓	Bringe $32$ auf die andere Seite.
$\displaystyle 2(x-2)^2$	$=$	$\displaystyle 32$	$\displaystyle :2$
	↓	Teile durch $2$ .
$\displaystyle (x-2)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{(x-2)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \|x-2\|$	$=$	$\displaystyle 4$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $4$ ist: $4$ und $- 4$ .

Fall 1: $x-2=4\;\Rightarrow x=6$

Fall 2: $x-2=-4\;\Rightarrow x=-2$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $- 2$ .

Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb{L}=\{-2;6\}$

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Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-3=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
	↓	Bringe $3$ auf die andere Seite.
$\displaystyle \dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot 3$
	↓	Multipliziere mit $3$ .
$\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \|x-\dfrac{1}{2}\|$	$=$	$\displaystyle 3$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $3$ ist: $3$ und $- 3$ .

Fall 1: $x-\frac{1}{2}=3\;\Rightarrow x=3{,}5$

Fall 2: $x-\frac{1}{2}=-3\;\Rightarrow x=-2{,}5$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $3,5$ und $- 2,5$ .

Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb{L}=\{-2{,}5;3{,}5\}$

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Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$4 (x + 3)^{2} + 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle 4(x+3)^2+12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -12$
	↓	Bringe $12$ auf die andere Seite.
$\displaystyle 4(x+3)^2$	$=$	$\displaystyle -12$	$\displaystyle :4$
	↓	Teile durch $4$ .
$\displaystyle (x+3)^2$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Beachte, dass es keine Lösung gibt, wenn du von einer negativen Zahl die Wurzel ziehen willst.

Antwort: Diese Gleichung hat keine Lösung.

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{ \}$ .

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Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$\dfrac{2}{5}\left(x+0{,}85\right)^2-10=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle \dfrac{2}{5}\left(x+0{,}85\right)^2-10$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +10$
	↓	Bringe $10$ auf die andere Seite.
$\displaystyle \dfrac{2}{5}\left(x+0{,}85\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle \cdot\dfrac{5}{2}$
	↓	Multipliziere mit $\dfrac{5}{2}$ .
$\displaystyle \left(x+0{,}85\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+0{,}85\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \|x+0{,}85\|$	$=$	$\displaystyle 5$