Der Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ liegt auf der Geraden $g$. Setze ein.

$\begin{pmatrix}m_1\\m_2\\m_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\textcolor{ff6600}{6-4t}\\1\end{pmatrix}$

Erstelle von der Ebene $E:\; x_2=6$ die Hessesche Normalenform:

Allgemein gilt: $E_{HNF}: \;\dfrac{a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0$

$E_{HNF}: \;\dfrac{0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3-6}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\textcolor{ff6600}{x_2}-6=0$

Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ soll gleich dem Kugelradius $\textcolor{006400}{r=4}$ sein.

$d(M,E)=\left|\textcolor{ff6600}{6-4t}-6\right|=\left|-4t\right|=\textcolor{006400}{4}$

Löse den Betrag auf:

Fall -

$4t=4 \Rightarrow \;t_1=1$

Fall +

$-4t=4 \Rightarrow \;t_2=-1$

Du hast zwei Lösungen für den Parameter $t$ erhalten. Demzufolge gibt es auch zwei Kugelmittelpunkte.

Setze $t_1=1$ in die Geradengleichung ein:

$\vec X_{M_1}=\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\:M_1(2|2|1)$

Setze $t_2=-1$ in die Geradengleichung ein:

$\vec X_{M_2}=\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}0 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\10\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\:M_2(2|10|1)$

Antwort: Die beiden Kugeln mit den Mittelpunkten $M_1(2|2|1)$ und $M_2(2|10|1)$ und dem Radius $r=4$ liegen auf der Geraden $g$ und die Ebene ist eine Tangentialebene.