Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

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Eine Kugel $K$ hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r = 4$ . Der Kugelmittelpunkt liegt auf einer Geraden mit der Gleichung $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$ . Die Ebene $E : x_{2} = 6$ berührt die Kugel $K$ .

Bestimme die Koordinaten eines möglichen Mittelpunktes $M$ der Kugel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden

Der Mittelpunkt $M (m_{1} | m_{2} | m_{3})$ liegt auf der Geraden $g$ . Setze ein.

$(\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 - 4 t \\ 1 \end{array})$

Erstelle von der Ebene $E : x_{2} = 6$ die Hessesche Normalenform:

Allgemein gilt: $E_{H N F} : \frac{a \cdot x_{1} + b \cdot x_{2} + c \cdot x_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0$

$E_{H N F} : \frac{0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} - 6}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = x_{2} - 6 = 0$

Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ soll gleich dem Kugelradius $r = 4$ sein.

$d (M, E) = | 6 - 4 t - 6 | = | - 4 t | = 4$

Löse den Betrag auf:

Fall -

$4 t = 4 \Rightarrow t_{1} = 1$

Fall +

$- 4 t = 4 \Rightarrow t_{2} = - 1$

Du hast zwei Lösungen für den Parameter $t$ erhalten. Demzufolge gibt es auch zwei Kugelmittelpunkte.

Setze $t_{1} = 1$ in die Geradengleichung ein:

${\vec{X}}_{M_{1}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow M_{1} (2 | 2 | 1)$

Setze $t_{2} = - 1$ in die Geradengleichung ein:

${\vec{X}}_{M_{2}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow M_{2} (2 | 10 | 1)$

Antwort: Die beiden Kugeln mit den Mittelpunkten $M_{1} (2 | 2 | 1)$ und $M_{2} (2 | 10 | 1)$ und dem Radius $r = 4$ liegen auf der Geraden $g$ und die Ebene ist eine Tangentialebene.

Der Mittelpunkt $M (m_{1} | m_{2} | m_{3})$ liegt auf der Geraden $g$ . Setze $M$ für $\vec{X}$ in die Geradengleichung ein.

Erstelle von der gegebenen Ebenengleichung $E$ die Hessesche Normalenform. Der Abstand des Mittelpunktes $M$ von der Ebene $E$ muss gleich dem Radius $r$ sein.

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