Aufgaben zu Kugeln und Tangentialkegel

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Gegeben sind eine Kugel $K$ und eine Ebene $E$ :

$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 5 \end{array}))}^{2} = 16$ und $E : 6 x_{1} + x_{3} = - 11$

Von einem Punkt $P$ aus werden Tangenten an die Kugel $K$ gelegt. Alle Berührpunkte mit der Kugel liegen auf einem Kreis, der in der gegebenen Ebene $E$ liegt. Berechne die Koordinaten dieses Punktes $P$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialkegel

Für den Punkt $P$ gilt folgende Gleichung:

$\vec{O P} = \vec{O M} + \vec{M P}$

$\vec{O M} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 5 \end{array})$

Der Vektor $\vec{M P}$ muss berechnet werden.

Im rechtwinkligen Dreieck $M P B$ gilt der Kathetensatz: $b^{2} = q \cdot c$

$b = r$ , $q = M F$ und $c = M P$

$\Rightarrow r^{2} = M F \cdot M P \Rightarrow M P = \frac{r^{2}}{M F}$

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E$ und berechne den Abstand des Punktes $M$ von $E$ .

$E_{H N F} : \frac{- 6 x_{1} - x_{3} - 11}{\sqrt{(- 6)^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}}} = 0 \Rightarrow \frac{- 6 x_{1} - x_{3} - 11}{\sqrt{37}} = 0$

Abstand des Punktes $M$ von $E$ :

$M F = d (M, E) = | \frac{- 6 \cdot (- 4) - 1 \cdot 5 - 11}{\sqrt{37}} | = | \frac{8}{\sqrt{37}} | = \frac{8}{\sqrt{37}}$

Der Abstand des Punktes $M$ von der Ebene $E$ beträgt $M F = \frac{8}{\sqrt{37}}$ .

Berechne nun $M P = \frac{r^{2}}{M F}$ , dabei ist $r = 4$ und $M F = \frac{8}{\sqrt{37}}$

$\Rightarrow M P = \frac{r^{2}}{M F} = \frac{16}{\frac{8}{\sqrt{37}}} = 2 \cdot \sqrt{37}$

Berechne den Vektor $\vec{M P}$ , indem du seine Länge $2 \cdot \sqrt{37}$ mit dem Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ multiplizierst.

Berechne nun den Vektor $\vec{M P}$ mit $M P = 2 \cdot \sqrt{37}$ und ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{\sqrt{37}} \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

$\vec{M P} = M P \cdot {\vec{n}}_{0} = 2 \cdot \sqrt{37} \cdot \frac{1}{\sqrt{37}} \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Der gesuchte Punkt $P$ kann nun berechnet werden:

$\vec{O P} = \vec{O M} + \vec{M P} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 12 \\ 0 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 7 \end{array})$

Antwort: Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (8 | 1 | 7)$ .

Um den Punkt $P$ zu berechnen, benötigst du den Vektor $\vec{M P}$ . Die Länge dieses Vektors kannst du mit dem Kathetensatz $b^{2} = q \cdot c$ berechnen. Dabei ist $b = r$ , $c = M P$ und $q = M F$ ist der Abstand des Mittelpunktes M von der Ebene $E$ . Berechne dann den Vektor $\vec{O P} = \vec{O M} + \vec{M P}$ .

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