Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^4-1$ und $g(x)=x-1$.

Da der $\lim_{x\rightarrow1}f(x)=\lim_{x\rightarrow1} x^4-1=0$ und $\lim_{x\rightarrow1} g(x)=\lim_{x\rightarrow1} x-1=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=4x^3$ und $g'(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^4-1}{x-1}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^4-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow1}\overbrace{\dfrac{4x^3}{1}}^{\rightarrow 4}=\dfrac{4}{1}=4$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2+8x-20$ und $g(x)=3x^2-12$.

Da der $\lim_{x\rightarrow2}f(x)=\lim_{x\rightarrow2} x^2+8x-20=0$ und $\lim_{x\rightarrow2} g(x)=\lim_{x\rightarrow2} 3x^2-12=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2x+8$ und $g'(x)=6x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+8x-20}{3x^2-12}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+8x-20}{3x^2-12}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow2}\underbrace{\overbrace{\dfrac{2x+8}{6x}}^{\rightarrow 12}}_{\rightarrow 12}=\dfrac{12}{12}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=x$.

Da der $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0} \sin(x)=0$ und $\lim_{x\rightarrow0} g(x)=\lim_{x\rightarrow0} x=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=\cos(x)$ und $g'(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin( x)}{x}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin( x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow0}\overbrace{\dfrac{\cos(x)}{1}}^{\rightarrow 1}=\dfrac{1}{1}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x-1$ und $g(x)=e^x$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x-1=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^{x}=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=1$ und $g'(x)=e^{x}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{e^x}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{1}{e^x}}_{\rightarrow \infty}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2e^{2x}-2$ und $g(x)=2e^x-2$.

Da der $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0} 2e^{2x}-2=0$ und $\lim_{x\rightarrow0}g(x)=\lim_{x\rightarrow0} 2e^{x}-2=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=4e^{2x}$ und $g'(x)=2e^{x}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{4e^{2x}}{2e^x}=\lim_{x\rightarrow0}\overbrace{2e^x}^{\rightarrow2}=2$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=x^2-2$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} 2x=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x^2-2=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2$ und $g'(x)=2x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x^2-2}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x^2-2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2}{2x}}_{\rightarrow \infty}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=e^x-3$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x^2=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^x-3=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2x$ und $g'(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{e^x}$

Nun gilt aber $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} 2x=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g'(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^x=\infty$

Somit ist wiederum keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind erfüllt. Die Funktionen werden erneut abgeleitet.

$f''(x)=2$ und $g''(x)=e^x$

Man betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2}{e^x}}_{\rightarrow \infty}=0$