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Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Wie gut kennst du dich aus? Mit diesen Übungsaufgaben lernst du, Grenzwerte von Funktionen zu bestimmen.

  1. 1

    In der Abbildung siehst du jeweils den Graphen einer Funktion, der keine weiteren Hoch- oder Tiefpunkte hat als die dargestellten.

    Gib die Grenzwerte fĂŒr x↩+∞x\mapsto+\infty und x↩−∞x\mapsto-\infty mit der Limes-Schreibweise an.

    1. Bild
    2. Bild
  2. 2

    Bestimme, wie sich die Funktion ff im Unendlichen verhÀlt.

    1. f(x)=x4−x3f\left(x\right)=x^4-x^3

    2. f(x)=−13x3+2x2f\left(x\right)=-\frac13x^3+2x^2

    3. f(x)=2x4−3x2−0,5xf\left(x\right)=2x^4-3x^2-0{,}5x

    4. f(x)=18x3+12x2−xf\left(x\right)=\frac18x^3+\frac12x^2-x

    5. f(x)=x5−14x3+2xf(x)=x^5-\frac14x^3+2x

    6. f(x)=x6−23x4+3x2f(x)=x^6-\frac23x^4+3x^2

    7. f(x)=−32x4+2x2f(x)=-\frac32x^4+2x^2

  3. 3

    Bestimme das Verhalten der Funktion ff fĂŒr x→−∞x\rightarrow -\infty und fĂŒr x→∞x\rightarrow \infty.

    1. f(x)=x2x+1f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}

    2. f(x)=2x+13x2+4f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{3x^2+4}

    3. f(x)=−3x+24x−5f\left(x\right)=\dfrac{-3x+2}{4x-5}

    4. f(x)=2+5xf\left(x\right)=2+\dfrac5x

  4. 4

    Wie verhĂ€lt sich die folgende Funktion fĂŒr x→−∞x\rightarrow -\infty, und wie fĂŒr x→∞x\rightarrow \infty?

    1. f(x)=2−xsin⁡  xf\left(x\right)=2^{-x}\sin\;x

    2. f(x)=1x2sin⁡  xf\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\sin\;x

    3. f(x)=(2x+3)cos⁡  xf\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos\;x

    4. f(x)=5⋅2xf\left(x\right)=5\cdot2^x

  5. 5

    Bestimme den Grenzwert mit der Regel von de l'Hospital.

    1. lim⁡x→1x4−1x−1\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^4-1}{x-1}

    2. lim⁡x→2x2+8x−203x2−12\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+8x-20}{3x^2-12}

    3. lim⁡x→0sin⁡(x)x\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin( x)}{x}

    4. lim⁡x→∞x−1ex\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{e^x}

    5. lim⁡x→02e2x−22ex−2\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}

    6. lim⁡x→∞2xx2−2\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x^2-2}

    7. lim⁡x→∞x2ex−3\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}


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