Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto-\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach unten, also Richtung $-\infty:$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto+\infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite ebenfalls nach unten, also Richtung $-\infty:$

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto-\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach unten, also Richtung $-\infty:$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto+\infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach oben, also Richtung $+\infty:$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{-\frac{1}{3}\underbrace{x^3}_{\rightarrow+\infty}}_{\rightarrow-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{2x^4}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\underbrace{x^5}_{\rightarrow-\infty}=-\infty$

Daher ist auch $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty.$

Verhalten der Funktion für $x\rightarrow-\infty$ bzw. $x\rightarrow+\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Entsprechend natürlich auch:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =\lim_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}=\ ?$

Berechnung von $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$ und $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{x+1}$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $x→−∞x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x+2}{4x-5} =\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}$, da $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \frac{2}{x}=\lim_{x\to-\infty} \frac{5}{x}=0$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\rightarrow +\infty$

Verhalten für $x→−∞x$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{2^x}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{2^x}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{2^x}_{\rightarrow0}}}_{\rightarrow\infty}\cdot\underbrace{\sin\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\dfrac1{x^2}\cdot\sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac1{x^2}\cdot\sin x\ =\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\dfrac1{\underbrace{x^2}_{\rightarrow\infty}}}_{\rightarrow 0}\cdot\underbrace{\sin x}_{\in\left[-1;1\right]}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow+\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=\left(2x+3\right)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(2x+3\right)\cos x\ =\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\underbrace{\left(2x+3\right)}_{\rightarrow-\infty}\underbrace{\cos\;x}_{\in\left[-1;1\right]}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow+\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow +\infty}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

$\lim_{x\rightarrow-\infty}5\cdot\underbrace{2^x}_{\rightarrow 0}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^4-1$ und $g(x)=x-1$.

Da der $\lim_{x\rightarrow1}f(x)=\lim_{x\rightarrow1} x^4-1=0$ und $\lim_{x\rightarrow1} g(x)=\lim_{x\rightarrow1} x-1=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=4x^3$ und $g'(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^4-1}{x-1}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^4-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow1}\overbrace{\dfrac{4x^3}{1}}^{\rightarrow 4}=\dfrac{4}{1}=4$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2+8x-20$ und $g(x)=3x^2-12$.

Da der $\lim_{x\rightarrow2}f(x)=\lim_{x\rightarrow2} x^2+8x-20=0$ und $\lim_{x\rightarrow2} g(x)=\lim_{x\rightarrow2} 3x^2-12=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2x+8$ und $g'(x)=6x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+8x-20}{3x^2-12}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+8x-20}{3x^2-12}=\lim_{x\rightarrow2}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow2}\underbrace{\overbrace{\dfrac{2x+8}{6x}}^{\rightarrow 12}}_{\rightarrow 12}=\dfrac{12}{12}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=x$.

Da der $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0} \sin(x)=0$ und $\lim_{x\rightarrow0} g(x)=\lim_{x\rightarrow0} x=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=\cos(x)$ und $g'(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin( x)}{x}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin( x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow0}\overbrace{\dfrac{\cos(x)}{1}}^{\rightarrow 1}=\dfrac{1}{1}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x-1$ und $g(x)=e^x$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x-1=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^{x}=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=1$ und $g'(x)=e^{x}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{e^x}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{1}{e^x}}_{\rightarrow \infty}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2e^{2x}-2$ und $g(x)=2e^x-2$.

Da der $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\lim_{x\rightarrow0} 2e^{2x}-2=0$ und $\lim_{x\rightarrow0}g(x)=\lim_{x\rightarrow0} 2e^{x}-2=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=4e^{2x}$ und $g'(x)=2e^{x}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{4e^{2x}}{2e^x}=\lim_{x\rightarrow0}\overbrace{2e^x}^{\rightarrow2}=2$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=x^2-2$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} 2x=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x^2-2=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2$ und $g'(x)=2x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x^2-2}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x^2-2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2}{2x}}_{\rightarrow \infty}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=e^x-3$.

Da der $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} x^2=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^x-3=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f'(x)=2x$ und $g'(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}$ berechnet werden: $\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{e^x}$

Nun gilt aber $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} 2x=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow\infty} g'(x)=\lim_{x\rightarrow\infty} e^x=\infty$

Somit ist wiederum keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind erfüllt. Die Funktionen werden erneut abgeleitet.

$f''(x)=2$ und $g''(x)=e^x$

Man betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{e^x-3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\underbrace{\dfrac{2}{e^x}}_{\rightarrow \infty}=0$