Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto -\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach unten, also Richtung $-\infty :$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto +\infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite ebenfalls nach unten, also Richtung $-\infty :$

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto -\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach unten, also Richtung $-\infty :$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto +\infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph verschwindet auf dieser Seite nach oben, also Richtung $+\infty :$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: https://de.serlo.org/mathe/265930/limes-schreibweise#265934

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto -\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph nähert sich dieser Seite dem y-Wert 1, also Richtung $-\infty :$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto +\infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph nähert sich auf dieser Seite ebenfalls dem y-Wert 1, also Richtung $+\infty :$

https://de.serlo.org/mathe/265930/limes-schreibweise#265934

Der linke Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto -\infty$, also für große negative Zahlen. Der Graph nähert sich dieser Seite dem y-Wert 2, also Richtung $-\infty :$

Der rechte Rand des Koordinatensystems zeigt das Verhalten für $x\mapsto \infty$, also für große positive Zahlen. Der Graph nähert sich dieser Seite dem y-Wert 2, also Richtung $\infty :$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{-\frac{1}{3}\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^3}}}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{2x^4}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{2x^4}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{\to +\infty }{\underbrace{x^5}}=+\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

Es muss nur das Element mit dem höchsten Exponenten betrachtet werden.

Dafür gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{\to -\infty }{\underbrace{x^5}}=-\infty }$$

Daher ist auch $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

Verhalten der Funktion für $x\to -\infty$ bzw. $x\to +\infty$

Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Entsprechend natürlich auch:

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=?}$$

Berechnung von $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}}$$

Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:

• Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$-Potenz des Nenners

• Methode 2: Polynomdivision

• Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$

Alternativen:

Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x+2}{4x-5}={\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=-\frac{3}{4}}}$$, da $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x}=0}$$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $-3$ und $4$.

Verhalten für $x\to +\infty$

Verhalten für $\text{}x\to -\infty x$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to +\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to -\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }5\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{2^x}}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }5\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^4-1$ und $g(x)=x-1$.

Da der ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}{x}^4-1=0$ und ${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}x-1=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=4x^3$ und $g^{\prime }(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 1}\stackrel{\to 4}{\overbrace{{\displaystyle \frac{4x^3}{1}}}}={\displaystyle \frac{4}{1}}=4$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2+8x-20$ und $g(x)=3x^2-12$.

Da der ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}{x}^2+8x-20=0$ und ${\lim }_{x\to 2}g(x)={\lim }_{x\to 2}3x^2-12=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2x+8$ und $g^{\prime }(x)=6x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 2}\underset{\to 12}{\underbrace{\stackrel{\to 12}{\overbrace{{\displaystyle \frac{2x+8}{6x}}}}}}={\displaystyle \frac{12}{12}}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=\sin (x)$ und $g(x)=x$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\sin (x)=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}x=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=\cos (x)$ und $g^{\prime }(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 1}{\overbrace{{\displaystyle \frac{\cos (x)}{1}}}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x-1$ und $g(x)=e^x$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }x-1=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=1$ und $g^{\prime }(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}}}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2e^{2x}-2$ und $g(x)=2e^x-2$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}2e^{2x}-2=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}2e^x-2=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=4e^{2x}$ und $g^{\prime }(x)=2e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{4e^{2x}}{2e^x}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 2}{\overbrace{2e^x}}=2$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2x$ und $g(x)=x^2-2$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }2x=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{x}^2-2=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2$ und $g^{\prime }(x)=2x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{2x}}}}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=e^x-3$.

Da der ${\lim }_{x\to \infty }f(x)={\lim }_{x\to \infty }{x}^2=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }g(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x-3=\infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\prime }(x)=2x$ und $g^{\prime }(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}$

Nun gilt aber ${\lim }_{x\to \infty }{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to \infty }2x=\infty$ und ${\lim }_{x\to \infty }{g}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$

Somit ist wiederum keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind erfüllt. Die Funktionen werden erneut abgeleitet.

$f^{\prime \prime }(x)=2$ und $g^{\prime \prime }(x)=e^x$

Man betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{f^{\prime \prime }(x)}{g^{\prime \prime }(x)}}={\lim }_{x\to \infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{e^x}}}}=0$