Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^4-1f(x)=x^4-1$ und $g(x)=x-1g(x)=x-1$.

Da der ${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}{x}^4-1=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\; x^4-1=0$ und ${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}x-1=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\; x-1=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^{3}f\text{'}(x)=4x^3$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=1g\text{'}(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\backslash dfrac\{x^4-1\}\{x-1\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x^4-1}{x-1}}={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to 1}\stackrel{\to 4}{\overbrace{{\displaystyle \frac{4x^3}{1}}}}={\displaystyle \frac{4}{1}}=4\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\backslash dfrac\{x^4-1\}\{x-1\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow1\}\backslash overbrace\{\backslash dfrac\{4x^3\}\{1\}\}^\{\backslash rightarrow\; 4\}=\backslash dfrac\{4\}\{1\}=4$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^2+8x-20f(x)=x^2+8x-20$ und $g(x)=3x^2-12g(x)=3x^2-12$.

Da der ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}{x}^2+8x-20=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\; x^2+8x-20=0$ und ${\lim }_{x\to 2}g(x)={\lim }_{x\to 2}3x^2-12=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\; 3x^2-12=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+8f\text{'}(x)=2x+8$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=6xg\text{'}(x)=6x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\backslash dfrac\{x^2+8x-20\}\{3x^2-12\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x^2+8x-20}{3x^2-12}}={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to 2}\underset{\to 12}{\underbrace{\stackrel{\to 12}{\overbrace{{\displaystyle \frac{2x+8}{6x}}}}}}={\displaystyle \frac{12}{12}}=1\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\backslash dfrac\{x^2+8x-20\}\{3x^2-12\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow2\}\backslash underbrace\{\backslash overbrace\{\backslash dfrac\{2x+8\}\{6x\}\}^\{\backslash rightarrow\; 12\}\}\_\{\backslash rightarrow\; 12\}=\backslash dfrac\{12\}\{12\}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=\sin (x)f(x)=\backslash sin(x)$ und $g(x)=xg(x)=x$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\sin (x)=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\; \backslash sin(x)=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}x=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\; x=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)f\text{'}(x)=\backslash cos(x)$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=1g\text{'}(x)=1$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{\backslash sin(\; x)\}\{x\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 1}{\overbrace{{\displaystyle \frac{\cos (x)}{1}}}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{\backslash sin(\; x)\}\{x\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash overbrace\{\backslash dfrac\{\backslash cos(x)\}\{1\}\}^\{\backslash rightarrow\; 1\}=\backslash dfrac\{1\}\{1\}=1$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x-1f(x)=x-1$ und $g(x)=e^{x}g(x)=e^x$.

Da der ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}x-1=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; x-1=\backslash infty$ und ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}g(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{e}^x=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; e^\{x\}=\backslash infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1f\text{'}(x)=1$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}g\text{'}(x)=e^\{x\}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x-1\}\{e^x\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x-1}{e^x}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\underset{\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}}}=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x-1\}\{e^x\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash underbrace\{\backslash dfrac\{1\}\{e^x\}\}\_\{\backslash rightarrow\; \backslash infty\}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2e^{2x}-2f(x)=2e^\{2x\}-2$ und $g(x)=2e^x-2g(x)=2e^x-2$.

Da der ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}2e^{2x}-2=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\; 2e^\{2x\}-2=0$ und ${\lim }_{x\to 0}g(x)={\lim }_{x\to 0}2e^x-2=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\; 2e^\{x\}-2=0$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4e^{2x}f\text{'}(x)=4e^\{2x\}$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{x}g\text{'}(x)=2e^\{x\}$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{2e^\{2x\}-2\}\{2e^x-2\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^{2x}-2}{2e^x-2}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{4e^{2x}}{2e^x}}={\lim }_{x\to 0}\stackrel{\to 2}{\overbrace{2e^x}}=2\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{2e^\{2x\}-2\}\{2e^x-2\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash dfrac\{4e^\{2x\}\}\{2e^x\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow0\}\backslash overbrace\{2e^x\}^\{\backslash rightarrow2\}=2$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=2xf(x)=2x$ und $g(x)=x^2-2g(x)=x^2-2$.

Da der ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}2x=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; 2x=\backslash infty$ und ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}g(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{x}^2-2=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; x^2-2=\backslash infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2f\text{'}(x)=2$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2xg\text{'}(x)=2x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x\}\{x^2-2\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\underset{\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{2x}}}}=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x\}\{x^2-2\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash underbrace\{\backslash dfrac\{2\}\{2x\}\}\_\{\backslash rightarrow\; \backslash infty\}=0$

Der Grenzwert ist ein Bruch von zwei Funktionen $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$ und $g(x)=e^x-3g(x)=e^x-3$.

Da der ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{x}^2=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; x^2=\backslash infty$ und ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}g(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{e}^x-3=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; g(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; e^x-3=\backslash infty$ ist, ist zunächst keine Aussage möglich. Die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind aber erfüllt.

Berechnung der Ableitungen ergibt: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xf\text{'}(x)=2x$ und $g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}g\text{'}(x)=e^x$

Durch Anwendung der Regel von de l'Hospital kann der Grenzwert ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x^2\}\{e^x-3\}$ berechnet werden: ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{e^x}}\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x^2\}\{e^x-3\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x\}\{e^x\}$

Nun gilt aber ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}2x=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}f\text{'}(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; 2x=\backslash infty$ und ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{g}^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{e}^x=\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; g\text{'}(x)=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\; e^x=\backslash infty$

Somit ist wiederum keine Aussage möglich, aber die Voraussetzungen für die Anwendung der Regel von de l'Hospital sind erfüllt. Die Funktionen werden erneut abgeleitet.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2f\text{'}\text{'}(x)=2$ und $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}g\text{'}\text{'}(x)=e^x$

Man betrachtet den Grenzwert des Bruches der zweiten Ableitungen. Diesmal lässt sich der Grenzwert bestimmen.

${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x-3}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}{g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}}={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\underset{\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{e^x}}}}=0\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{x^2\}\{e^x-3\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash dfrac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash dfrac\{f\text{'}\text{'}(x)\}\{g\text{'}\text{'}(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash underbrace\{\backslash dfrac\{2\}\{e^x\}\}\_\{\backslash rightarrow\; \backslash infty\}=0$