Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Man berechnet die Vektoren $\overrightarrow {AF}=\begin{pmatrix}0-5\\2-5\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-3\\4\end{pmatrix}$ und

$\overrightarrow {BF}=\begin{pmatrix}0+5\\2-5\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}\Rightarrow \overrightarrow {AF}\circ \overrightarrow{BF}=\begin{pmatrix}-5\\-3\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}=-25+9+16=0$

Somit sind die Vektoren $\overrightarrow {AF}$ und $\overrightarrow {BF}$ orthogonal und das Dreieck $\Delta_{ABF}$ bei $F$ rechtwinklig.

Die Ebene $W$ ist durch die $3\$Punkte $A,B$ und $F$ bestimmt.

Die Punkt-Richtungs-Gleichung der Ebene $W\$lautet:

$\vec{x}=\begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-5\\-3\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}$

Bestimmung eines Normalenvektors $\vec{n}$

Man berechnet das Vektorprodukt der beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren.

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-5\\-3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\40\\30\end{pmatrix}$

Oder: $\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$

Damit hat man: $\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\vec{x}-\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix}=0\iff \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\vec{x}-20=0$

Und die Koordinatengleichung der Ebene $W$ lautet:

$4\cdot x_2+3\cdot x_3-20=0$

Die Hessesche Normalenform der Ebene $W$ lautet dann

$W_{HNF}:\frac{1}{\sqrt{4^2+3^2}}\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\vec{x}-\frac{20}{5}=0\iff \frac{1}{5}\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\circ\vec{x}-4=0$.

Die Ebene $W$enthält die zur $x_1-$Achse parallele Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und hat vom Ursprung $O$ des Koordinatensystems den Abstand $d(W,O)=4$

Die Größe des Winkels zwischen der Seitenfläche $ABF$ und der Grundfläche $ABCD$ berechnet man als Winkel $\beta$ zwischen den Normalenvektoren der Ebene $W$ und der $x_1-x_2-$Ebene.

Der Vektor $\vec{n_{1{,}2}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ist ein Normalenvektor der $x_1-x_2-$Ebene.

Der Vektor $\vec{n_W}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$ ist Normalenvektor von $W.$

$\displaystyle\cos(\beta)=\frac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|\left|\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\right|}=\frac{|3|}{1\cdot 5}=\frac{3}{5}\Rightarrow \beta= 53{,}13^o$

Die Größe des Winkels zwischen der Seitenfläche $ABF$ und der Grundfläche $ABCD$ berechnet man als Winkel $\beta$ zwischen den Normalenvektoren der Ebene $W$ und der $x_1-x_2-$Ebene.

Der Vektor $\vec{n_{1{,}2}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ist ein Normalenvektor der $x_1-x_2-$Ebene.

Der Vektor $\vec{n_W}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$ ist Normalenvektor von $W.$

$\displaystyle\cos(\beta)=\frac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|\left|\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\right|}=\frac{|3|}{1\cdot 5}=\frac{3}{5}\Rightarrow \beta= 53{,}13^o$

Betrachte zuerst das Dreieck $\Delta_{\left\{KFE\right\}}$. Der Punkt $N$ ist laut Aufgabe der Mittelpunkt der Strecke $\left[KF\right].$ Da das Dreieck $\Delta_{\left\{KFE\right\}}$ gleichschenklig ist, denn $|\overline{KE}|=|\overline{EF}|$ aus d) , ist die Strecke $[NE]$ Mittelsenkrechte und damit Winkelhalbierende im Dreieck $\Delta_{KFE}.$

Weil der Schenkel $[KE]$auf dem Schenkel $[DE]$ liegt, ist $[NE]$ auch Winkelhalbierende des Innenwinkels des Dreiecks $\Delta_{DEF}$ bei $E$

Geradengleichung der Geraden durch die Punkte $N$ und $E$.

$g_{EN}:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-0{,}4\\0\\-0{,}8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix}-4\\0\\-8\end{pmatrix}$.

Wählt man für $\sigma=\frac{1}{2}$ , so gilt $\vec{x}_\sigma=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede zu genau einer der drei beschriebenen Pyramiden kongruent ist.

Da der Körper laut Beschreibung bzgl. der $x_1-x_3-$Achse symmetrisch ist, sind die Dreiecke $\Delta_{ABF}$ und $\Delta_{DHE}$ kongruent.

Wegen der Symmetrie bzgl. der $x_2-x_3-$Achse sind die Dreiecke $\Delta_{CBG}$ und $\Delta_{DAE}$ kongruent.

Man zeigt leicht, dass $\Delta_{DAE}\cong\Delta_{ABF}$ gilt:

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AD}$ , wegen Quadrat $ABCD$

$\overline{AF}=\overline{AE}\\ \iff \left|\begin{pmatrix}-5\\-3\\4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{50}$

$\overline{BF}=\overline{DE}\\\iff \left|\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-3\\5\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{50}$

Damit gilt: $\Delta_{ABF}\cong\Delta_{ADE}\cong\Delta_{BCG}\cong\Delta_{DCH}$

Da alle diese Pyramiden gleiche Grundflächen und Spitze haben, sind sie kongruent.

Da die (übrigen) Seitenflächen auch Dreiecke sind und die neunte Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, sind die restlichen $4$ Pyramiden auch kongruent.

Damit gibt es $4$ Pyramiden vom Typ $ABFS$ und $4$ Pyramiden $HDES$.

Die Pyramide $EFGHS$ hat ein Quadrat vom Flächeninhalt $8\thinspace FE$ zur Grundfläche. Die Höhe dieser Pyramide ist $h=4$.

Somit ist das Volumen $V_{\text{Pyr}}=\frac{32}{3}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist dann

$\displaystyle V_{\text{Körper}}=4\cdot 33\frac{1}{3}+4\cdot 13\frac{1}{3}+\frac{32}{3]}=\frac{400}{3}+\frac{160}{3}+\frac{32}{3}=\frac{592}{3}\thinspace \text{VE}$

Da laut Aufgabe der Punkt $S$ der Mittelpunkt des Quadrates $ABCD$ ist, hat er von den Eckpunkten $A,B,C$ und $D$ den gleichen Abstand $d$. Da $S$ der Ursprung $O\left(0\left|0\right|0\right)$ ist, hat der Ursprung den gleichen Abstand $d.$

Und alle Punkte auf der $x_3-$Achse haben von den Punkten $A,B,C$ und $D\$den gleichen Abstand. Somit kommen alle Punkte $M\left(0\left|0\right|s\right)$ auf der $x_3-$Achse als Kugelmittelpunkt in Frage.

Es muss insbesondere gelten:

$\displaystyle |\vec{AM}|=|\vec{FM}|\iff \left|\begin{pmatrix}-5\\-5\\s\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\s-4\end{pmatrix}\right|\\\iff \sqrt{25+25+s^2}=\sqrt{4+(s-4)^2}\iff 50+s^2=4+(s-4)^2\\\iff 50+s^2=4+s^2-8s+16\iff 30=-8\cdot s\iff s=-\frac{15}{4}$

Also $M(0|0|-\dfrac{15}{4}).$