Ausgehend vom Graphen $G_{h_{ }}$ der Funktion $\displaystyle h(x)=\frac{5}{x^2+4}$h soll der Graph $G_p$ der Funktion $\displaystyle p(x) =\frac{40}{(x-12)^2+4}$ dargestellt werden.

Der Graph $G_f$ der Funktion $y=f(x-a);a>0$ ergibt sich aus dem Graphen $G_g$ der Funktion $g(x)=f(x-a)$ durch Verschiebung um $a$ in Richtung der positiven $x-$Achse.

Beispiel: Der Graph der Funktion $f_o(x)=x^2$ ist die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_o(0|0)$ und der Graph der Funktion $f_a(x)=(x-a)^2$ ist die um $a$ in Richtung der positiven $x-$Achse verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_a(a|0)$.

Ersetzt man in der Funktion $h$ die unabhängige Variable $x$ durch $x-12$, so erhält man $\displaystyle h_{12}(x)=\frac{5}{(x-12)^2+4}$.

Der Graph $G_{h_{12}}$ergibt sich aus dem Graphen $G_h$ durch Verschiebung um $12 \thinspace LE$ in Richtung der positiven $x-$Achse.

Multipliziert man $h_1(x)$ mit dem Faktor $8$, so werden alle Funktionswerte um den Faktor $8$ vergrößert. Man erhält den Graphen $G_p$

$8\cdot h_1(x)=8\cdot \frac{5}{(x-12)^2+4}=\frac{40}{(x-12)^2+4}=p(x)$

Der Graph $G_h$ ist achsensymmetrisch bzgl. der $y-$Achse, weil sowohl Zählerterm als auch Nennerterm von $h$ gerade sind.

Es gilt: $h(x)=h(-x)\thinspace \forall x\in \mathbb{R}.$

Also ist der Graph $G_h$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=0$.

Weil man $x$ durch $x-12$ ersetzt hat, ist der Graph $G_p$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=12.$

Die Leistung der PV-Anlage wird modellhaft durch die Funktion $p^{ }$ beschrieben.

$p(x)=\dfrac{40}{(x-12)^2+4}$

Für welches $x$ gilt: $p(x)<4$

$\dfrac{40}{(x-12)^2+4}<4\iff \dfrac{10}{(x-12)^2+4}<1\iff 10<(x-12)^2+4\\\iff 6<(x-12)^2\iff \sqrt{6}<|x-12|$

Diese Ungleichung bedeutet, welche Werte von $x$ haben von $12$ einen Abstand, der größer als $\sqrt{6}$ ist?

Da in der Aufgabe nach einer Uhrzeit am Nachmittag gefragt ist, gilt:

$\sqrt{6}<x-12\iff x > 12+\sqrt{6}\iff x > 12+2{,}449\\\Rightarrow x>14 \thinspace$Uhr $27 \thinspace$Minuten

Die Funktion $p$ ist im Intervall $\left[4;12\right]$ monoton steigend, denn

$\displaystyle p'(x)=40\cdot\frac{-2\cdot(x-12)}{[(x-12)^2+4)]^2}=-80\cdot\frac{x-12}{[(x-12)^2+4]^2}>0$.

Da der Nennerterm von $p'(x)$ als Quadrat positiv ist und der Zählerterm $-80\cdot (x-12)$ im Intervall $[4;12]$ auch positiv ist, wächst $p$ im Intervall $[4;12]$.

Der Wendepunkt ist ein (möglicher) Extrempunkt der 1. Ableitung, also der Veränderung (hier: Ansteigen) der Leistung.

Bis zur Wendestelle $x_w$ wird das Ansteigen der Leistung immer stärker und nach der Wendestelle wird das Ansteigen schwächer. An der Wendestelle hat das Ansteigen der Leistung seinen Maximalwert erreicht. Um $12\thinspace$Uhr hat das Ansteigen den Wert Null.

Die in $\left[4{,}20\right]$ definierte Funktion $x\to E\left(x\right)$ gibt die eingespeiste elektrische Energie an und es gilt $E'\left(x\right)=p\left(x\right).$ Somit ist $E$ Stammfunktion von $p.$

Und mittels $\int_{10}^{14}p(x)dx$ berechnet sich die eingespeiste Energie von $10:00$ Uhr bis $14:00$ Uhr.

$\int_{10}^{14}p(x)dx$ lässt sich näherungsweise über den Inhalt der dem Graph von $p(x)$ einbeschriebenen Treppenfigur $U$ bzw. umbeschriebenen Treppenfigur $O$berechnen.

Da der Graph von $p(x)$ symmetrisch bzgl. der $y-$Achse ist, genügt es, den Inhalt der Treppenfiguren im Intervall $[10;12]$ zu berechnen. Den dann berechneten Wert des Flächeninhaltes multipliziert man mit $2.$

Man unterteilt das Intervall $[10{,}12]$ in zwei Teilintervalle der Länge $\Delta x=1$.

Es gilt: $p(10)=\frac{40}{(10-12)^2+4}=5;\quad \quad \thinspace p(11)=\frac{40}{(11-12)^2+4}=8; \quad \quad \thinspace p(12)=10$

Dann erhält man für die Fläche der einbeschriebenen Treppenfigur

$U=5\cdot 1+8\cdot 1=13\thinspace \text{FE}$

Und für die Fläche der umbeschriebenen Treppenfigur:

$O=8\cdot 1+10\cdot 1=18\thinspace \text{FE}$

Bildet man den Mittelwert von $U$ und $O$, so erhält man:$\frac{U+O}{2}=\frac{31}{2}\thinspace \text{FE}$

Somit kann man den Wert des Flächeninhaltes unter dem Graph von $p(x)$ im Intervall $[10;14]$ näherungsweise mit $31 \thinspace \text{FE}$ angeben.

Damit werden in der Zeit von $10:00$ Uhr bis $14:00$ Uhr etwa $31\thinspace \text{kWh}$ eingespeist.

Der Hauseigentümer erhält als Vergütung $3{,}10\thinspace$ Euro.