Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

$g (x) = - x^{2} + 6 x - 7$ ; $D_{f} = D_{g} = ℝ$

Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.

$f (x)$	$=$	$g (x)$
$x^{2} - 4 x + 1$	$=$	$- x^{2} + 6 x - 7$
	↓	Umformen.
$2 x^{2} - 10 x + 8$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{36}}{4}$
	$=$	$\frac{10 \pm 6}{4}$

$\begin{array}{l} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 1 \end{array}$

$x_{1}$ und $x_{2}$ sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.

$A$	$=$	$\int_{1}^{4} ((- x^{2} + 6 x - 7) - (x^{2} - 4 x + 1)) d x$
	$=$	$\int_{1}^{4} (- x^{2} + 6 x - 7 - x^{2} + 4 x - 1) d x$
	↓	Löse auf und fasse zusammen.
	$=$	$\int_{1}^{4} (- 2 x^{2} + 10 x - 8) d x$
	↓	Integriere
	$=$	${[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{2} x^{2} - 8 x]}_{1}^{4}$
	$=$	$(- \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{3} + \frac{10}{2} \cdot {(4)}^{2} - 8 \cdot (4)) - (- \frac{2}{3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{10}{2} \cdot {(1)}^{2} - 8 \cdot (1))$
	$=$	$(- \frac{2}{3} \cdot 64 + \frac{10}{2} \cdot 16 - 32) - (- \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{10}{2} \cdot 1 - 8)$
	$=$	$- \frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3$
	$=$	$9$

$\Rightarrow$ Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.