Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Der Artikel beschreibt die Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Geraden $g$ .

Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ mit einer Hilfsebene $H$

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden mit Hilfsebene

Gegeben sind ein Punkt $P$ und eine Gerade $g : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u}$

Vorgehensweise

1. Erstelle eine Hilfsebene $H$ in Normalenform $E : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ \vec{n} = 0$

Verwende dabei für $H$ den gegebenen Punkt $P$ und setze für den Normalenvektor $\vec{n}$ den Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ ein.

$H : (\vec{x} - \vec{O P}) \circ \vec{u} = 0$

2. Schneide die Gerade $g$ mit der Hilfsebene $H$ . Du erhältst den Fußpunkt $F$ .

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein.

Beispiel

Gegeben sind ein Punkt $P (1 | 1 | 2)$ und eine Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem gegebenen Punkt $P$ und dem Richtungsvektor der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = 0$

2. Schneide $g$ mit $H$ :

$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$ in $H$ ein.
$((\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$((\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(\begin{array}{c} 2 + 2 r \\ 1 + 2 r \\ - 1 + 2 r \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(2 + 2 r) \cdot 2 + (1 + 2 r) \cdot 2 + (- 1 + 2 r) \cdot 2$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$4 + 4 r + 2 + 4 r - 2 + 4 r$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$12 r + 4$	$=$	$0$	$- 4$
$12 r$	$=$	$- 4$	$: 12$
$r$	$=$	$- \frac{4}{12}$
	↓	Kürze.
$r$	$=$	$- \frac{1}{3}$

Setze $r = - \frac{1}{3}$ in die Geradengleichung ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{1}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - \frac{2}{3} \\ 2 - \frac{2}{3} \\ 1 - \frac{2}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) \Rightarrow$ $F (\frac{7}{3} | \frac{4}{3} | \frac{1}{3})$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \\ 1 + \frac{2}{3} \\ 2 - \frac{10}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{11}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{3} \end{array})$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (\frac{11}{3} | \frac{5}{3} | - \frac{4}{3})$ .

Anmerkung: Die obigen Berechnungen gelten auch im Zweidimensionalen. Die Vektoren haben dann eine Komponente weniger.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

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Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Berechnung des Spiegelpunktes P′ mit einer Hilfsebene H

Vorgehensweise

Beispiel

Übungsaufgaben

Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ mit einer Hilfsebene $H$