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Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Der Artikel beschreibt die Spiegelung eines Punktes PP an einer Geraden gg.

Berechnung des Spiegelpunktes P′P' mit einer Hilfsebene HH

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden mit Hilfsebene

Gegeben sind ein Punkt PP und eine Gerade g:x⃗=OA→+r⋅u⃗g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}

Vorgehensweise

Vorgehen

1. Erstelle eine Hilfsebene HH in Normalenform E:  (x⃗−OA→)∘n⃗=0 E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n=0

Verwende dabei für HH den gegebenen Punkt PP und setze für den Normalenvektor n⃗\vec n den Richtungsvektor u⃗\vec u der Geraden gg ein.

H:  (x⃗−OP→)∘u⃗=0H: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec u=0

2. Schneide die Gerade gg mit der Hilfsebene HH. Du erhältst den Fußpunkt FF.

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes P′P' setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

Beispiel

Gegeben sind ein Punkt P(1∣1∣2)P(1|1|2) und eine Gerade g:x⃗=(321)+r⋅(222)g: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene HH mit dem gegebenen Punkt PP und dem Richtungsvektor der Geraden gg als Normalenvektor:

H:  (x⃗−(112))∘(222)=0H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0

2. Schneide gg mit HH:

(x⃗−(112))∘(222)\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Setze g:x⃗=(321)+r⋅(222)g: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} in HH ein.

((321)+r⋅(222)−(112))∘(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.

((21−1)+r⋅(222))∘(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Fasse zusammen.

(2+2r1+2r−1+2r)∘(222)\displaystyle \begin{pmatrix}2+2r\\1+2r\\-1+2r\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0
↓

Berechne das Skalarprodukt.

(2+2r)⋅2+(1+2r)⋅2+(−1+2r)⋅2\displaystyle (2+2r)\cdot2+(1+2r)\cdot 2+(-1+2r)\cdot 2==0\displaystyle 0
↓

Löse die Klammern auf.

4+4r+2+4r−2+4r\displaystyle 4+4r+2+4r-2+4r==0\displaystyle 0
↓

Löse nach r r auf.

12r+4\displaystyle 12r+4==0\displaystyle 0−4\displaystyle -4
12r\displaystyle 12r==−4\displaystyle -4:12\displaystyle :12
r\displaystyle r==−412\displaystyle -\dfrac{4}{12}
↓

Kürze.

r\displaystyle r==−13\displaystyle -\dfrac{1}{3}

Setze r=−13r=-\dfrac{1}{3} in die Geradengleichung ein, um den Punkt FF zu berechnen.

x⃗F=(321)+(−13)⋅(222)=(3−232−231−23)=(734313)  ⇒  \vec x_F= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\frac{2}{3}\\[1ex] 2-\frac{2}{3}\\[1ex]1-\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;F(73∣43∣13)F(\frac{7}{3}|\frac{4}{3}|\frac{1}{3})

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

PF→=OF→−OP→=(734313)−(112)=(4313−53)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}

4. Setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP′→=(112)+2⋅(4313−53)=(1+831+232−103)=(11353−43)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{8}{3}\\[1ex]1+\frac{2}{3}\\[1ex]2-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P′(113∣53∣−43)P'(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3}) .

Anmerkung: Die obigen Berechnungen gelten auch im Zweidimensionalen. Die Vektoren haben dann eine Komponente weniger.

Übungsaufgaben: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie


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