Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist $2a$ .

Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide in Vielfachen von $a^2$ .

Bestimme $a$ auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau $400\;\text{cm}^2$ betragen soll.

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h_{\Delta}^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$	$\displaystyle -\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{k^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}$
$\displaystyle h_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}a$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{\Delta}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}a^2$

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle a^2+4\cdot A_{\Delta}$
	$=$	$\displaystyle a^2+\sqrt{17}a^2$
	$=$	$\displaystyle \left(1+\sqrt{17}\right)a^2$

$\displaystyle S$	$=$	$\displaystyle 400\;\text{cm}^2$
	↓	Oberfläche gleichsetzen.
$\displaystyle \left(1+\sqrt{17}\right)a^2$	$=$	$\displaystyle 400\;\text{cm}^2$	$\displaystyle :\left(1+\sqrt{17}\right)$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{400\;\text{cm}^2}{\left(1+\sqrt{17}\right)}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{400\;\text{cm}^2}}{\sqrt{1+\sqrt{17}}}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 8{,}8\;\text{cm}$

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$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2a^2}$
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}a$

$\displaystyle \left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2$	$=$	$\displaystyle k^2$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}a$