Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Hier findest du gemischte Aufgaben mit Wurzeltermen, sowie Gleichungen, die mithilfe der Quadratwurzel gelöst werden. Schaffst du sie alle?

1
Ordne im Memory die richtigen Werte zueinander zu
Beispiel:
$\sqrt{25} = 5$
$\to$ die Memory Karten $\sqrt{25}$ und $5$ gehören zusammen.
2
In der folgenden Tabelle ist die Seitenlänge eines Quadrats $a$ oder dessen Flächeninhalt $A_{□}$ gegeben.
In den Tabellen fehlen noch einige Werte. Berechne sie im Kopf.
a
$4 cm$
?
$1 m$
$7 cm$
$A_{□}$
?
$49 m^{2}$
?
?
a
?
$10 mm$
?
?
$A_{□}$
$81 {cm}^{2}$
?
$121 {dm}^{2}$
$25 {cm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
In dieser Aufgabe kannst du beispielsweise zuerst die fehlenden Flächeninhalte berechnen und danach die fehlenden Seitenlängen.
Berechnung der Flächeninhalte
Den Flächeninhalt eines Quadrats bestimmst du aus der Formel:
$A_{□} = a^{2} = a \cdot a$
Berechne mit der Formel nun die fehlenden Flächeninhalte:
$a = 4 cm \Rightarrow A_{□} = (4 cm)^{2} = 16 {cm}^{2}$
$a = 1 m \Rightarrow A_{□} = (1 m)^{2} = 1 m^{2}$
$a = 7 cm \Rightarrow A_{□} = (7 cm)^{2} = 49 {cm}^{2}$
$a = 10 mm \Rightarrow A_{□} = (10 mm)^{2} = 100 {mm}^{2}$
Berechnung der Seitenlängen
Um die fehlenden Seitenlängen zu erhalten, musst du dich nun fragen, welche Zahl mit sich selbst malgenommen den entsprechenden Flächeninhalt ergibt.
Also z.B. "Welche Zahl mal sich selbst ergibt $49$ ?" $\to$ $7 \cdot 7 = 49$ , also ist die gesuchte Seitenlänge $7 m$ .
$\begin{array}{l} A_{□} = 49 m^{2} \Rightarrow 7 \cdot 7 = 49 \\ \Rightarrow a = 7 m \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 81 {cm}^{2} \Rightarrow 9 \cdot 9 = 81 \\ \Rightarrow a = 9 cm \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 121 {dm}^{2} \Rightarrow 11 \cdot 11 = 121 \\ \Rightarrow a = 11 dm \end{array}$
$\begin{array}{l} A_{□} = 25 {cm}^{2} \Rightarrow 5 \cdot 5 = 25 \\ \Rightarrow a = 5 cm \end{array}$
Lösung
$a$
$4 cm$
$7 m$
$1 m$
$7 cm$
$A_{□}$
$16 {cm}^{2}$
$49 m^{2}$
$1 m^{2}$
$49 {cm}^{2}$
$a$
$9 cm$
$10 mm$
$11 dm$
$5 cm$
$A_{□}$
$81 {cm}^{2}$
$100 {mm}^{2}$
$121 {dm}^{2}$
$25 {cm}^{2}$
3
Ordne die richtigen Werte zu

Lösung
Die richtige Zuordnung ist:
$\sqrt{1,44}$ $=$ $1,2$
$\sqrt{4,0}$ $=$ $2,0$
$\sqrt{6,25}$ $=$ $2,5$
$\sqrt{90,25}$ $=$ $9,5$
$\sqrt{1024}$ $=$ $32$
$\sqrt{4096}$ $=$ $64$
Ein kleiner Wurzelwert hängt auch mit einem kleinen Radikand zusammen.
Ebenso sorgt ein großer Radikand für einen großen Wurzelwert.
4
Das orange Quadrat und das lila Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt.
Die Seitenlängen des Rechtecks sind $b = 2 c m$ und $c = 8 c m$ .
Berechne die Seitenlänge a des Quadrats.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
Für die Berechnung der Seitenlänge des Quadrats benötigt man den Flächeninhalt $A_{Quadrat}$ des Quadrats. Das Rechteck und das Quadrat haben den gleichen Flächeninhalt, deshalb wird zuerst der Flächeninhalt des Rechtecks $A_{Rechteck}$ berechnet:
$\begin{array}{rcl} A_{R e c h t e c k} & = & L \ddot{a} n g e \cdot Breite \\ = & c \cdot b \\ = & 8 cm \cdot 2 cm \\ = & 16 {cm}^{2} \end{array}$
Der Flächeninhalt des Quadrats $A_{Quadrat}$ ist $16 {cm}^{2}$ . Mit dieser Information kann nun die Seitenlänge $a$ des Quadrats berechnet werden:
$\begin{array}{rcl} L \ddot{a} n g e \cdot Breite & = & A_{Quadrat} \\ a \cdot a & = & 16 {cm}^{2} \\ a^{2} & = & 16 {cm}^{2} \\ \sqrt{a^{2}} & = & \sqrt{16 {cm}^{2}} \\ a & = & 4 cm \end{array}$
Die Seitenlängen des Quadrats sind alle $4 cm$ lang.
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Rechtecks. Das Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt. Mit diesem Ergebnis kannst du nun die Seitenlänge $a$ berechnen.
5
Ein Quadrat und ein Kreis haben denselben Flächeninhalt.
Der Radius vom Kreis beträgt $13,6 cm$ . Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrats?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt des Kreises
Zuerst musst du den Flächeninhalt des Kreises ausrechnen, damit du weißt, wie groß der des Quadrats sein muss.
Gegeben ist der Radius $r = 13,6 c m$ .
Berechne den Flächeninhalt mithilfe der Formel.
$A_{K r e i s}$ $=$ $π r^{2}$
↓
Das ist der Flächeninhalt, den das Quadrat auch hat.
$A_{K r e i s}$ $=$ $π \cdot {(13,6 c m)}^{2}$
$\approx$ $581,07 c m^{2}$
Seitenlänge des Quadrats bestimmen
Du weißt bereits:
$A_{K r e i s} = A_{Q u a d r a t} = 581,07 c m^{2}$
Suche die Formel für den Flächeninhalt des Quadrats.
$A_{Q u a d r a t}$ $=$ $s^{2}$
↓
Stelle diese nun nach der Seitenlänge $s$ um.
$A_{Q u a d r a t}$ $=$ $s^{2}$ $\sqrt{}$
↓
Du erhältst zwei Lösungen
$\sqrt{A_{Q u a d r a t}}$ $=$ $\pm s$
$\sqrt{581,07 c m^{2}}$ $\approx$ $\pm 24,11 c m$
Du erhältst zwei Lösungen:
$s_{1} = - 24,11 c m$
$s_{2} = 24,11 c m$
Im Kontext des Quadrats erscheint dabei nur eine der Lösungen sinnvoll.
Da die Seitenlänge des Quadrats nicht negativ sein kann, ist die richtige Lösung $s = 24,11 c m$ .
6
Bestimme die Quadratwurzel mithilfe des GeoGebra Applets
7
Welche Terme sind definiert?
$\sqrt{25}$
$\sqrt{7 - 3}$
$\sqrt{- 25}$
$\sqrt{5 - 7}$
8
Welche Terme sind definiert?
$5^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{- 3}$
$(- 5)^{\frac{1}{2}}$
9
Berechne die Quadratwurzel
1. $\sqrt{25}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{25} = 5$
  denn: $5 \cdot 5 = 25$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25 ergibt.
2. $\sqrt{100}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{100} = 10$
  denn: $10 \cdot 10 = 100$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 100 ergibt.
3. $\sqrt{64}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{64} = 8$
  denn: $8 \cdot 8 = 64$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt.
4. $\sqrt{9}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{9} = 3$
  denn: $3 \cdot 3 = 9$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt.
5. $\sqrt{144}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{144} = 12$
  denn: $12 \cdot 12 = 144$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 144 ergibt.
6. $\sqrt{400}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{400} = 20$
  denn: $20 \cdot 20 = 400$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 400 ergibt.
7. $\sqrt{6,25}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{6,25} = 2,5$
  denn: $2,5 \cdot 2,5 = 6,25$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 6,25 ergibt.
8. $\sqrt{2,25}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{2,25} = 1,5$
  denn: $1,5 \cdot 1,5 = 2,25$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2,25 ergibt.
9. $\sqrt{3,24}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{3,24} = 1,8$
  denn: $1,8 \cdot 1,8 = 3,24$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3,24 ergibt.
10. $\sqrt{1,96}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratwurzel
  $\sqrt{1,96} = 1,4$
  denn: $1,4 \cdot 1,4 = 1,96$
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  Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 1,96 ergibt.

a	$4 cm$	?	$1 m$	$7 cm$
$A_{□}$	?	$49 m^{2}$	?	?

a	?	$10 mm$	?	?
$A_{□}$	$81 {cm}^{2}$	?	$121 {dm}^{2}$	$25 {cm}^{2}$

$a$	$4 cm$	$7 m$	$1 m$	$7 cm$
$A_{□}$	$16 {cm}^{2}$	$49 m^{2}$	$1 m^{2}$	$49 {cm}^{2}$

$a$	$9 cm$	$10 mm$	$11 dm$	$5 cm$
$A_{□}$	$81 {cm}^{2}$	$100 {mm}^{2}$	$121 {dm}^{2}$	$25 {cm}^{2}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\sqrt{1,44}$	$=$	$1,2$
$\sqrt{4,0}$	$=$	$2,0$
$\sqrt{6,25}$	$=$	$2,5$
$\sqrt{90,25}$	$=$	$9,5$
$\sqrt{1024}$	$=$	$32$
$\sqrt{4096}$	$=$	$64$

$A_{K r e i s}$	$=$	$π r^{2}$
	↓	Das ist der Flächeninhalt, den das Quadrat auch hat.
$A_{K r e i s}$	$=$	$π \cdot {(13,6 c m)}^{2}$
	$\approx$	$581,07 c m^{2}$

$A_{Q u a d r a t}$	$=$	$s^{2}$
	↓	Stelle diese nun nach der Seitenlänge $s$ um.
$A_{Q u a d r a t}$	$=$	$s^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Du erhältst zwei Lösungen
$\sqrt{A_{Q u a d r a t}}$	$=$	$\pm s$
$\sqrt{581,07 c m^{2}}$	$\approx$	$\pm 24,11 c m$

Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

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Berechnung der Flächeninhalte

Berechnung der Seitenlängen

Lösung

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Lösung

Seitenlänge des Quadrats bestimmen

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