Aufgaben zum Baumdiagramm

Aufgaben
Stefans kleiner Bruder spielt mit seinen Bauklötzen. Er hat drei rote, einen grünen und einen blauen Bauklotz. Wie viele verschiedene Türme aus drei Klötzen kann er bauen? Zeichne ein Baumdiagramm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit dem Baumdiagramm

Abzählen mit Baumdiagrammen

Beachte beim Aufstellen des Baumdiagramms, dass es nur jeweils einen blauen und grünen Bauklotz gibt!
Baumdiagramm zu dieser Aufgabe
Ergebnis:
Es gibt 13 Möglichkeiten, wie Stefans kleiner Bruder einen dreistöckigen Bauklotzturm bauen kann.
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Lucia feiert ihren 11. Geburtstag. Sie hat Angelika (A), Boris (B) und Christoph (C) eingeladen. Sie kommen nacheinander. Bestimme anhand eines Baumdiagramms, wie viele und welche Möglichkeiten ihres Eintreffens es gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abzählen mit Baumdiagrammen

baum
Als erstes kann jeder kommen, es gibt also 3 mögliche erste Besucher.
Anschließend können nur noch diejenigen, die nicht zuerst da waren, eintreffen, also 2 mögliche zweite Besucher.
Für den zuletzt Eintreffenden gibt es nur noch eine Möglichkeit.
⇒\Rightarrow Es gibt 6 Möglichkeiten: {A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,B,A}.
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Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 1, 2, 3 bilden?

Stochastik

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Mithilfe des Baumdiagramms  verdeutlichen.

 Baumdiagramm

%%L=\left\{10,12,20,22,30,32\right\}%%

 

%%3\cdot2=6%%

0 wird ausgeschlossen, da 0 an der 1. Stelle keine zweistellige Zahl bilden kann. Somit bleiben noch 3 Zahlen für die 1. Stelle. An 2. Stelle können nur noch 2 der 4 Zahlen stehen, da nur 2 gerade sind. Also hat man noch 3 Ziffern für die 1. Stelle und 2 für die 2. Stelle, das heißt, dass es ingesamt 6 Lösungen gibt.

Es lassen sich insgesamt 6 2-stellige, gerade Zahlen bilden.

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Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
Baumdiagramm
L={12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}L=\left\{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43\right\}
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Bei der zweiten Stelle dürfen nur noch die 3 verbliebenen Ziffern verwendet werden. Damit ergeben sich
4⋅3=124\cdot3=12
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 12 zweistellige Zahlen bilden, die nicht doppelt-ziffrig sind.
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Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastik

Mithilfe des Baumdiagramms verdeutlichen.
Baumdiagramm
L={11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}L=\left\{11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44\right\}
Für die erste Stelle stehen 4 Ziffern zur Verfügung. Gleiches gilt für die zweite Ziffer. Insgesamt ergeben sich damit
4⋅4=164\cdot4=16
Kombinationen. Es lassen sich also insgesamt 16 zweistellige Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 und 4 bilden.
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In einer Urne befinden sich eine weiße, eine schwarze, eine rote und eine blaue Kugel. Es werden nacheinander (und ohne Zurücklegen) zwei Kugeln entnommen.
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Zeichne ein Baumdiagramm und lies den Ergebnisraum Ω\Omega dieses Zufallsexperiments ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Image Title
Ω={ws;wr;wb;sw;sr;sb;rw;rs;rb;bw;bs;br}\Omega=\{ws; wr; wb; sw; sr; sb; rw; rs; rb; bw; bs; br\}
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Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Keine der gezogenen Kugeln ist rot. B: Unter den gezogenen Kugeln ist eine rote. C: Es werden zwei rote Kugeln gezogen. D: Die gezogenen Kugeln sind weiß und schwarz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

Mächtigkeit des Ergebnisraumes: ∣X∣=12|X|=12

Ereignis A

Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, dafür, dass keine der gezogenen Kugeln rot ist.
A={ws;wb;sw;sb;bw;bs}A=\{ws; wb; sw; sb; bw; bs\}
P(A)=∣A∣∣X∣=612=0,5=50%P(A)=\frac{|A|}{|X|}=\frac{6}{12}=0,5=50\%

Ereignis B

Es gibt 6 Möglichkeiten dafür, dass eine rote unter den gezogenen Kugeln ist.
B={wr,sr;rw;rs;rb;br}B=\{wr, sr; rw; rs; rb; br\}
P(B)=∣B∣∣X∣=612=0,5=50%P(B)=\frac{|B|}{|X|}=\frac{6}{12}=0,5=50\%

Ereignis C

Das Ereignis C ist nicht möglich, weil keine zwei roten Kugeln in der Urne sind. Die Ereignismenge ist also leer.
C={}C=\{\}
P(C)=∣C∣∣X∣=012=0P(C)=\frac{|C|}{|X|}=\frac0{12}=0% 

Ereignis D

Es gibt zwei Möglichkeiten dafür, dass eine Kugel weiß und eine Kugel schwarz ist.
D={ws;sw}D=\{ws; sw\}
P(D)=∣D∣∣X∣=212≈0,167=16,7%P(D)=\frac{|D|}{|X|}=\frac{2}{12}\approx0,167=16,7\%
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Gib in Worten ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit P(E)=25 %P(E)=25\ \% und ein Ereignis F mit der Wahrscheinlichkeit P(F)=13​P(F)=\frac{1}{3}​ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ereignisse bestimmen

Wähle zum Beispiel folgende Ereignisse E und F:
EE: "Die zweite gezogene Kugel ist weiß."

E={sw;rw;bw}E=\{sw; rw; bw\}
P(E)=∣E∣∣X∣=312=25 %P(E)=\frac{|E|}{|X|}=\frac{3}{12}=25\ \%
FF: "Zuerst wird entweder weiß oder schwarz gezogen, danach entweder rot oder blau."

F={wr;wb;sr;sb}F=\{wr; wb; sr; sb\}
P(F)=∣F∣∣X∣=412=13P(F)=\frac{|F|}{|X|}=\frac4{12}=\frac13
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Eine Münze wird dreimal geworfen. Zeichne für folgende Ereignisse die Baumdiagramme und stelle sie in Mengenschreibweise dar.
(Z steht für Zahl, W für Wappen)
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AA: "Zahl erscheint höchstens einmal"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

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A={ZWW;WZW;WWZ;WWW}A=\{ZWW; WZW; WWZ; WWW\}
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BB: "Wappen erscheint beim ersten Wurf"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

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B={WZZ;WZW;WWZ;WWW}B=\{WZZ; WZW; WWZ; WWW\}
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CC: "Es wird nie Wappen geworfen"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

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C={ZZZ}C=\{ZZZ\}
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Eine 1-Euro-Münze, von der wir annehmen, dass sie eine Laplace-Münze ist, wird 3mal geworfen.
Liegt die Eins oben, so werten wir den Wurf als 1, andernfalls als 0.
a) Zeichne einen Baum zu diesem Experiment.
b) Eine Zufallsvariable A ordnet jedem Ergebnis aus dem Experiment die Summe der Zahlen zu. Dem Ereignis Zahl-Kopf-Kopf mit dem Wert 100 wird also die Summe 1+0+0 =1 zugeordnet. Welche möglichen Summen treten auf? Welche Ergebnisse gehören zu den einzelnen Summen?

Teilaufgabe a

Baumdiagramm

Teilaufgabe b

Es treten als mögliche Summen auf:
  • 0=0+0+00=0+0+0
  • 1=0+0+1=0+1+0=1+0+01=0+0+1=0+1+0=1+0+0
  • 2=0+1+1=1+0+1=1+1+02=0+1+1=1+0+1=1+1+0
  • 3=1+1+13=1+1+1
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Zeichne den Baum für den dreifachen Münzenwurf Wappen(W) und Zahl(Z) und bestimme damit die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm


Baumdiagramm
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In einer Urne befinden sich 1 weiße, 2 rote und 3 schwarze Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln einmal ohne Zurücklegen und einmal mit Zurücklegen der Kugel nach jedem Zug. Zeichne jeweils ein Baumdiagramm und gib einen Ergebnisraum und seine Mächtigkeit an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm

1. Ohne Zurücklegen

Baumdiagramm
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
Ω\Omega = {(w,r), (w,s), (r,r), (r,w), (r,s), (s,s), (s,w), (s,r)}
∣Ω∣=8|\Omega|= 8

2. Mit Zurücklegen

Baumdiagramm
Schreibe die Ereignisse auf und die gib die Mächtigkeit der Menge an.
Ω\Omega = {(w,w), (w,s), (w,r), (r,r), (r,s), (r,w), (s,s), (s,r), (s,w)}
∣Ω∣=9|\Omega|= 9
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Max und Tim laden ihren Opa zum Kaffeetrinken ein. Sie haben zwei Stühle und drei Hocker. Ihr Opa muss auf jeden Fall auf einem Stuhl sitzen. Damit es gerecht wird, setzt sich keiner der beiden Jungen auf den Stuhl.

Wie viele Sitzmöglichkeiten gibt es?

Abzählen mit dem Baumdiagramm

Am besten legst du dazu ein Baumdiagramm an:
fehlt noch
Für den Opa gibt es 2 Möglichkeiten (nämlich die beiden Stühle).
Für Max gibt es 3 Möglichkeiten (die drei Hocker).
Für Tim gibt es 2 Möglichkeiten (die beiden Hocker, auf denen Max nicht sitzt).
Diese Möglichkeiten musst du multiplizieren.
Ergebnis: Es gibt 12 Möglichkeiten.
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Oma hat in einer Schublade 18 blaue und 12 andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.

a. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

b. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.

(b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)

c. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?

d. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?

Teilaufgabe a

Absolute Häufigkeit

Trage die gegeben Werte in die entsprechenden Felder ein!

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

18

12

Berechne nun die fehlenden Werte:
%%|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11%%
Absolute Häufigkeit der Kulis: %%18+12=30%%
%%|S|=30-\overline{S}|=30-12=18%%
%%| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7%%

So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :

%%b%%

%%bn%%

Summe

%%sn%%

7

5

12

%%s%%

11

7

18

18

12

30

Teilaufgabe b

Baumdiagramm

 Baumdiagramm

 

Teilaufgabe c

Baumdiagramm und Pfadregeln

Es muss entweder ein blauer Stift sein, der schreibt %%(b\ s)%%, oder ein andersfarbiger Stift, der schreibt %%(bn\ s)%%.

Lies die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm von b) ab und addiere sie für die Gesamtwahrscheinlichkeit (2. Pfadregel).

$$P(s)= P(b\ s)+P(bn\ s)=\frac{11}{30} + \frac7{30}=\frac{18}{30}=\frac35=0,6$$

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 60% Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.

Teilaufgabe d

Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen

%%P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0,61%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der blaue Stift schreibt zu ca. 61%.

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Max und Moritz streiten sich, wer das letzte Eis im Kühlschrank haben darf. Schließlich kommen sie zu dem Entschluss ihre Streitigkeit durch einen Münzwurf beizulegen.
Moritz gewinnt bei Kopf und Max bei Zahl.
Löse die nachfolgenden Aufgaben mithilfe des nachfolgenden Baumdiagramms.
Baumdiagramm für Aufgabe mit Münze
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in Prozent) gewinnt Moritz die erste Runde?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Wie man am Baumdiagramm ablesen kann, besteht eine Chance von 50%.
Aufgabe 1 Lösung marked
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Nachdem Max die erste Runde gewonnen hat, fordert Moritz, dass derjenige gewinnt, der zwei von drei Runden gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Moritz noch gewinnt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Damit Moritz noch gewinnen kann muss er nun zweimal in Folge Kopf werfen.Nachdem der erste Wurf bereits erfolgt ist, muss der 2. und 3. Wurf Kopf sein.Die Warscheinlichkeit für Kopf beträgt jeweils 50%  =  0,550\%\;=\;0,5Das heißt die Warscheinlichkeit für zweimal Kopf beträgt 0,5⋅0,5=0,25=25%0,5 \cdot 0,5 = 0,25 = 25\%
Aufgabe 2 Baumdiagramm
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Max behauptet: "Es ist wahrscheinlicher, dass die Münze dreimal auf der selben Seite landet, als abwechselnd (bpsw. Kopf,Zahl,Kopf)
Prüfe ob Max Recht hat, wenn nicht beweise das Gegenteil.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Die Behauptung stimmt nicht!

Begründung:

Dreimal die selbe Seite:
Mithilfe der 2. Pfadregel kannst du nun die Wahrscheinlichkeit berechnen.
P(K,K,K)+P(Z,Z,Z)=12,5%+12,5%=25%P(K,K,K) + P(Z,Z,Z) = 12,5\% + 12,5\% = 25\%
Baumdiagramm Aufgabe c (dreimal dasselbe)
Abwechselnde Seiten: Dicke Pfade
Mithilfe der 2. Pfadregel kannst du nun die Wahrscheinlichkeit berechnen.
P(K,Z,K)+P(Z,K,Z)=12,5%+12,5%=25%P(K,Z,K) + P(Z,K,Z) = 12,5\% + 12,5\% = 25\%
Aufgabe 3 Baumdiagramm mit markierten Wegen
Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ereignisse sind genau gleich.
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Eine (fiktive) Untersuchung hat gezeigt, dass 40% der Kinder an einer Schule aus der Stadt kommen. Von diesen Stadtkindern treiben 30% regelmäßig Sport.
Insgesamt treiben 60% der Kinder an dieser Schule Sport. Erstelle ein vollständiges Baumdiagramm.
Für das Baumdiagramm fehlen zunächst Prozentangabe. Diese kann man im Baumdiagramm mit Variablen markieren.

Baumdiagramm 1
Die Variable A kann man bestimmen, wenn man weiß, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren müssen:
1=0.3+A1=0.3+A ergibt dann A=0.7A=0.7
Für B muss man Wahrscheinlichkeit von 0.4 mit Hilfe der Pfadregeln ermitteln:
0.6=0.4 ⋅0.3+0.6⋅B 0.6=0.4\ \cdot0.3+0.6\cdot B\ ergibt dann B=0.8B=0.8
C kann man dann wieder wie A berechnen. B und C zusammen müssen 1 ergeben:
1=0.8+C1=0.8+C ergibt dann C=0.2C=0.2
Das Baumdiagramm ist dann:
Baumdiagramm 1 Lösung
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Zu topic-folder Aufgaben zum Baumdiagramm:
wendrock 2021-01-12 17:12:12+0100
Wie kann man eine neue Aufgabe hinzufügen?
Mit welchen Programm/ Vorlage wurden die Baumdiagramme erstellt? Es wäre sicherlich sinnvoll bei weiteren Programmen ein gleich aussehendes Baumdiagramm zu verwenden.
metzgaria 2021-01-14 14:17:33+0100
Hallo wendrock,
Einige deiner Fragen haben sich vielleicht schon beantwortet, da du bereits Bearbeitungen gemacht hast.
Kennst du übrigens schon unseren Chat unter community.serlo.org? Dort kannst du mit deinem Serlo-Account problemlos mit anderen Autor*innen in Kontakt treten und dich austauschen.
Liebe Grüße,
metzgaria
wolfgang 2021-01-14 15:28:19+0100
Hi wendrock,

noch ganz konkret zu deinen Fragen:
Wenn du im Ordner "Aufgaben zum Baumdiagramm" bist, hast du oben rechts ein grünen Button mit einem Pfeil nach unten. Dort im Ausklappmenu auf "Neuen Inhalt" gehen und dann Textaufgabe oder Textaufgabengruppe (das ist eine Aufgabe mit Teilaufgaben a),b),c)...) auswählen.

Bei den Baumdiagrammen bin ich mir nicht ganz sicher. Im Editor wurden sie jeweils als Bild hochgeladen. Prinzipiell kann man diese Art von Diagrammen über ein Programm wie PowerPoint erstellen oder auch mit Hilfe von GeoGebra. Z.B. schauen Aufgaben 1, 2 und 13 für mich eher nach PowerPoint aus, während 3,4 und 5 eher nach Geogebra ausschauen.
Ich bin leider für beide Programme kein Experte, kann dir aber wie Metzgaria hier den Community-Chat (und dort den Mathekanal) empfehlen. Dort gibt es zu beiden Programmen Leute, die sich jeweils richtig gut damit auskennen, aber vielleicht nicht zu dieser Diskussion hier finden.

An dieser Stelle möchte ich mich recht herzlich für die vielen Kommentar und inhaltlichen Verbesserungsvorschläge von dir in den letzten Wochen bedanken.

Liebe Grüße
Wolfgang

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