Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Dazu wird zuerst die Ebene $E_3$ in die Koordinatenform umgewandelt.

Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $E_3$

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)$und setze in die Normalenform ein:

Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene $E_3$ lautet:

$E_3:4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3=4$

Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\overrightarrow{n}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ ​und ${\overrightarrow{n}}_3=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\end{array}\right)\text{}$

Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.

Berechnung der Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}:E{\text{}}_1\cap E_2\text{}$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_2$​:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}& 2\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 2\\ \mathrm{II}& 3\cdot x_1& +& 4\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{I}\Rightarrow x_1+3\cdot x_2=2$$\Rightarrow x_1=2-3\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=2-3\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=2-3\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l}{x}_1=2-3\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 5\end{array}\right)\\ \text{}{x}_3=-2+5\cdot r\end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$​ hat folgende Gleichung:

Zweite Schnittgerade $g_{23}:E{\text{}}_2\cap E_3\text{}$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_2$​ und $E_3$​:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{II}& 3\cdot x_1& +& 4\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\\ \mathrm{III}& 4\cdot x_1& -& 2\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\Rightarrow x_1-6\cdot x_2=0$$\Rightarrow x_1=6\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=6\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=6\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l}{x}_1=0+6\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -22\end{array}\right)\\ \text{}{x}_3=4-22\cdot r\end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$​ hat folgende Gleichung:

Dritte Schnittgerade $g_{13}:E{\text{}}_1\cap E_3\text{}$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_3$​:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}& 2\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 2\\ \mathrm{III}& 4\cdot x_1& -& 2\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\Rightarrow 2\cdot x_1-3\cdot x_2=2$$\Rightarrow x_1=1+\mathrm{1,5}\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=1+\mathrm{1,5}\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=1+\mathrm{1,5}\cdot r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l}{x}_1=1+\mathrm{1,5}\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{1,5}\\ 1\\ -4\end{array}\right)\\ \text{}{x}_3=0-4\cdot r\end{array}$

Die Schnittgerade $g_{13}$​ hat folgende Gleichung:

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& 2\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =2\\ \mathrm{II}& 3\cdot x_1& +& 4\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =4\\ \mathrm{III}& 4\cdot x_1& -& 2\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =4\end{array}\to \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 2\\ 3& 4& 1& 4\\ 4& -2& 1& 4\end{array}\right)$

Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die $3.$ Spalte zur $1.$ Spalte.

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 1& 3& 4& 4\\ 1& 4& -2& 4\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}-1\cdot \mathrm{I}}{\underset{1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-1\cdot \mathrm{I}}{⟶}}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 1& 3& 2\\ 0& 2& -3& 2\end{array}\right)\stackrel{1\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}}{⟶}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 1& 3& 2\\ 0& 0& -9& -2\end{array}\right)$

Dann folgt aus der letzten Zeile: $-9\cdot x_2=-2\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{2}{9}}$

In der letzten Matrix lautet die $2.$ Zeile:

In der letzten Matrix lautet die $1.$ Zeile:

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:

Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $S(\frac{4}{3}|\frac{2}{9}|-\frac{8}{9})$.

Anmerkung: Wenn man die $3$ Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt $S$ schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.