Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuche, welche gegenseitige Lage die drei Ebenen

$E_1:\;2x_1+x_2+x_3=2$ , $E_2:\;3x_1+4x_2+x_3=4$ und $E_3:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ einnehmen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Dazu wird zuerst die Ebene $E_{3}$ in die Koordinatenform umgewandelt.

Berechne das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene $E_{3}$

$\vec n=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$ und setze in die Normalenform ein:

$\displaystyle E:\;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\overrightarrow{A}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ und $\vec n=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3-4$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$

Die umgewandelte Ebenengleichung der Ebene $E_{3}$ lautet:

$E_3:\;4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3=4$

Betrachte nun die Normalenvektoren der drei Ebenen:

$\vec n_1 =\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\vec n_2=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$ und $\vec n_3 =\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}$

Die Normalenvektoren sind keine Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind nicht parallel (und damit auch nicht identisch). Demnach müssen sich die Ebenen schneiden.

Berechnung der Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}:\;E_1\cap E_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{2}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&2\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{I}\;\Rightarrow\;x_1+3\cdot x_2=2$ $\;\Rightarrow\;x_1=2-3\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=2-3\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_1=2-3\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$\displaystyle 3\cdot x_1+4\cdot x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -3\cdot x_1-4\cdot x_2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-3\cdot x_1-4\cdot x_2$
	↓	Setze $x_1=2-3\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-3\cdot (2-3\cdot r)-4\cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-6+9\cdot r-4\cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -2+5\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=2-3\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\5\end{pmatrix}\\ x_3=-2+5\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{12}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\1\\5\end{pmatrix}

Zweite Schnittgerade $g_{23}:\;E_2\cap E_3$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{2}$ und $E_{3}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;x_1-6\cdot x_2=0$ $\;\Rightarrow\;x_1=6\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=6\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_1=6\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$\displaystyle 4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4\cdot x_1+2\cdot x_2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot x_1+2\cdot x_2$
	↓	Setze $x_1=6\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot 6\cdot r+2\cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-22\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+6\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-22\end{pmatrix}\\ x_3=4-22\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{23}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{23}:\;\vec X=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}6\\1\\-22\end{pmatrix}

Dritte Schnittgerade $g_{13}:\;E_1\cap E_3$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_{1}$ und $E_{3}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&2\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=&4\end{array}$

Rechne $\mathrm{III}-\mathrm{II}\;\Rightarrow\;2\cdot x_1-3\cdot x_2=2$ $\;\Rightarrow\;x_1=1+1{,}5\cdot x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\;\Rightarrow\;x_1=1+1{,}5\cdot r$

Löse Gleichung $\mathrm{III}$ nach $x_{3}$ auf und setze $x_1=1+1{,}5\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein:

$\displaystyle 4\cdot x_1-2\cdot x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -4\cdot x_1+2\cdot x_2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot x_1+2\cdot x_2$
	↓	Setze $x_1=1+1{,}5\cdot r$ und $x_{2} = r$ ein
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 4-4\cdot(1+1{,}5\cdot r)+2\cdot r$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 4-4-6\cdot r+2\cdot r$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -4\cdot r$

Untereinander geschrieben:

$x_1=1+1{,}5\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1{,}5\\1\\-4\end{pmatrix}\\ x_3=0-4\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{13}$ hat folgende Gleichung:

\displaystyle g_{13}:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1{,}5\\1\\-4\end{pmatrix}

Schneiden sich die 3 Ebenen eventuell in einem Punkt?

Betrachte dazu das lineare Gleichungssystem, das aus den drei Ebenengleichungen besteht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&2\cdot x_1&+&1\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=2\\\mathrm{II}&3\cdot x_1&+&4\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=4\\\mathrm{III}&4\cdot x_1&-&2\cdot x_2&+&1\cdot x_3&=4\end{array}\quad\to\quad\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&1&2\\3&4&1&4\\4&-2&1&4\end{array}\right)$

Zur leichten Anwendung des Gaußverfahrens wird die $3.$ Spalte zur $1.$ Spalte.

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\1&3&4&4\\1&4&-2&4\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot II - 1 \cdot I}}{\underset{\mathrm{1 \cdot III - 1 \cdot I}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&1&3&2\\0&2&-3&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot III - 2 \cdot II}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&2\\0&1&3&2\\0&0&-9&-2\end{array}\right)$

BeachteDie Spalten wurden vertauscht

Achte bei den folgenden Rechnungen auf die geänderte Reihenfolge der Variablen:

\displaystyle x_3,\;x_1,\;x_2

Dann folgt aus der letzten Zeile: $-9\cdot x_2=-2\;\Rightarrow\;x_2=\dfrac{2}{9}$

In der letzten Matrix lautet die $2.$ Zeile:

$\displaystyle x_1+3\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -3\cdot x_2$
	↓	Löse nach $x_{1}$ auf.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2-3\cdot x_2$
	↓	Setze $x_2=\frac{2}{9}$ ein.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 2-3\cdot \frac{2}{9}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$

In der letzten Matrix lautet die $1.$ Zeile:

$\displaystyle 1\cdot x_3+2\cdot x_1+1\cdot x_2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -2\cdot x_1-1\cdot x_2$
	↓	Löse nach $x_{3}$ auf.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 2-2\cdot x_1-1\cdot x_2$
	↓	Setze $x_1=\frac{4}{3}$ und $x_2=\frac{2}{9}$ ein.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 2-2\cdot \frac{4}{3}-1\cdot \frac{2}{9}$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle 2-\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{9}$
	↓	Erweitere auf den Nenner $9$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{18}{9}-\dfrac{24}{9}-\dfrac{2}{9}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8}{9}$

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung:

\displaystyle \mathbb{L}=\{\frac{4}{3};\frac{2}{9};-\frac{8}{9}\}

Die drei Ebenen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt $S(\frac{4}{3}|\frac{2}{9}|-\frac{8}{9})$ .

Anmerkung: Wenn man die $3$ Schnittgeraden miteinander schneidet, stellt man fest, dass sie sich auch im Punkt $S$ schneiden (siehe auch obige Abbildung). Der Rechenaufwand ist dabei allerdings größer als bei der Lösung des LGS.

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