Gemischte Aufgaben zum Rechnen mit ganzen Zahlen

Hier findest du Aufgaben zum Rechnen mit ganzen Zahlen. Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen!

1
Gib alle berechenbaren Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) an, die sich aus den Zahlen -7, -4, -1, 0, 12, 35 bilden lassen und berechne ihre Werte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Bestimme alle möglichen Quotienten mit einem festen Dividenden. Gehe alle möglichen Dividenden durch.
Die Reihenfolge ist hier von den großen zu den kleinen Zahlen absteigend geordnet.
35 als Dividend
$35:\left(-7\right)=-5$
$35:\left(-1\right)=-35$
$35:35=1$
$\Rightarrow\;$ Dies sind alle möglichen Quotienten, die sich mit Zahlen aus der betrachteten Menge von Zahlen und Dividend 35 bestimmen lassen.
Denn durch 0 darf nie geteilt werden und bei der Division einer ungeraden Zahl durch eine gerade Zahl gibt es einen Rest ungleich 0.
12 als Dividend
$12:\left(-4\right)=-3$
$12:\left(-1\right)=-12$
$12:12=1$
0 als Dividend
$0:35=0$
$0:12=0$
$0:\left(-1\right)=0$
$0:\left(-4\right)=0$
$0:\left(-7\right)=0$
-1 als Dividend
$-1:(-1)=1$
-4 als Dividend
$\left(-4\right):\left(-1\right)=4$
$(-4):(-4)=1$
-7 als Dividend
$\left(-7\right):\left(-1\right)=7$
$(-7):(-7)=1$
Zusammenfassung
Alle möglichen Quotientenwerte sind:
$-35,\;-12,\;-5,\;-3,\;0,\;1$ und $7$ .
2
Gib alle Teiler der Zahl -30 an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Divison
Lösung durch systematisches Probieren
Positive Teiler von -30
Bestimme alle positiven Teiler von $-30$ . Teste dafür systematisch mögliche Teiler.
Du kannst dir beispielsweise alle Zahlen von 1 bis 30 notieren und alle Zahlen austesten.
Wenn $-30$ durch die Zahl teilbar ist, kannst du den Teiler einkreisen und falls sie nicht teilbar ist durchstreichen.
Die positiven Teiler der Zahl $-30$ sind also: $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $10$ , $15$ , $30$ .
Negative Teiler von -30
Alle positiven Teiler der Zahl, sind bei Änderung des Vorzeichens die negativen Teiler der Zahl.
pos. Teiler
neg. Teiler
1
-1
2
-2
3
-3
5
-5
6
-6
10
-10
15
-15
30
-30
Ergebnis
Die Teiler der ganzen Zahl $-30$ sind:
$\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30$
Lösung durch Primfaktorzerlegung
Mithilfe einer Primfaktorzerlegung kannst du auch alle Teiler der Zahl $-30$ finden. Dafür musst du alle Primfaktoren der Zahl -30 finden.
$-30=(-1)\cdot 30 =(-1)\cdot 2 \cdot 15 =(-1)\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
Die Zahl 1 teilt jede Zahl.
Die Faktoren einzeln sind Teiler, also -1, 2, 3 und 5.
Die weiteren Teiler sind Kombinationen der Primfaktoren. Du kannst also alle möglichen Kombinationen aus 2 Zahlen der Zerlegung miteinander multiplizieren, dann 3 Zahlen miteinander verknüpfen und dann alle 4 Zahlen. Dann hast du alle Teiler.
Kombinationen aus 2 Zahlen
$(-1)\cdot2 =-2$
$(-1)\cdot3 =-3$
$(-1)\cdot5 =-5$
$2\cdot 3=6$
$2\cdot 5=10$
$3 \cdot 5 = 15$
Kombinationen aus 3 Zahlen
$(-1)\cdot2\cdot3 =-6$
$(-1)\cdot 2 \cdot 5 = -10$
$(-1)\cdot 3 \cdot 5 = -15$
$2\cdot 3 \cdot 5 = 30$
Kombination aus allen 4 Zahlen
$(-1)\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 =-30$
Alle Teiler sind damit: $\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30$

pos. Teiler	neg. Teiler
1	-1
2	-2
3	-3
5	-5
6	-6
10	-10
15	-15
30	-30

Berechne den Wert des Terms $12-2\cdot5^3$ .

Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

4
Berechne den Wert des Terms $30-4\cdot5^4$ .
Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme berechnen
Hier sind nun alle möglichen Terme, die durch Klammersetzung möglich geworden sind, angegeben und nach Größe des Ergebnisses geordnet.
$30-(4\cdot5)^4=30-2^4\cdot10^4=30-160.000=-159.970$
$30-4\cdot5^4=30-100\cdot25=30-2500=-2.470$
$(30-4\cdot5)^4=10^4=10.000$
$(30-4)\cdot5^4=26\cdot625=16.250$
$\lbrack(30-4)\cdot5\rbrack^4=130^4=16.900^2=285.610.000$
Vorgehensweise: Berechen den angegebenen Term und berechne alle möglichen Werte von Termen, die durch das Setzen von Klammern in den angegebenen Term möglich sind.
Beachte: Zunächst werden die Klammern berechnet, dann Potenzen. Danach werden die nächsten Schritte durchgeführt.

Herbert vergisst eine Klammer, als er die Hausaufgabe von der Tafel abschreibt:

\displaystyle 82-16-8\cdot\left(-11\right)+11]

Zu Hause überlegt er, wo die fehlende Klammer stehen könnte. Er entscheidet sich für eine Stelle und rechnet.

Welche Ergebnisse kann er jeweils erhalten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Klammern

Überlege dir, wo überall die Klammer gesetzt werden könnte.

Annahme: vor der 82 oder der 11 würde die Klammer keinen Sinn machen.

$82-\underset{1.}\lbrack16-\underset{2.}\lbrack8\cdot\underset{3.}\lbrack\left(-11\right)+11\rbrack$

1. Möglichkeit

Herberts Term könnte so aussehen: $82-\left[16-8\cdot\left(-11\right)+11\right]$ . Multipliziere in der Klammer $8$ mit $-11$ .

$\displaystyle 82-\left[16-8\cdot\left(-11\right)+11\right]$	$=$	$\displaystyle 82-\left[16-\left(-88\right)+11\right]$
	↓	Minus und Minus ergibt Plus.
	$=$	$\displaystyle 82-\left[16+88+11\right]$
	↓	Addiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 82-115$
	$=$	$\displaystyle -33$

2. Möglichkeit

Herberts Term könnte auch so aussehen: $82-16-\left[8\cdot\left(-11\right)+11\right]$ . Multipliziere in der Klammer $8$ mit $-11$ .

$\displaystyle 82-16-\left[8\cdot\left(-11\right)+11\right]$	$=$	$\displaystyle 82-16-\left[-88+11\right]$
	↓	Addiere in der Klammer.
	$=$	$\displaystyle 82-16-\left[-77\right]$
	↓	Minus und Minus ergibt Plus.
	$=$	$\displaystyle 82-16+77$
	$=$	$\displaystyle 143$

3. Möglichkeit

Herberts Term könnte aber auch noch so aussehen: $82-16-8\cdot\left[\left(-11\right)+11\right]$ . Berechne zuerst den Wert in der Klammer.

$\displaystyle 82-16-8\cdot\left[\left(-11\right)+11\right]$	$=$	$\displaystyle 82-16-8\cdot0$
	$=$	$\displaystyle 82-16$
	$=$	$\displaystyle 66$

Antwort: Die möglichen Ergebnisse von Herbert sind $-33$ , $143$ und $66$ .

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6
Gegeben sind Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen $-12, -11…, -1, 0, 1,…, 11, 12$ .
(Dabei zählen z. B. $11\cdot12$ und $12\cdot11$ als nur ein Produkt.)
1. Wie viele haben einen Wert größer als $100$ ?
  Produkte
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mit Betrag rechnen
  Es gibt acht Produkte mit einem Wert größer als $100$ :
  $12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right)$
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2. Wie viele haben einen Betrag größer als $100$ ?
  Produkte
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mit Betrag rechnen
  Es gibt $16$ Produkte, deren Betrag größer als 100 ist:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right),\\-12\cdot11,\;-12\cdot10,\;-12\cdot9,\;-11\cdot10,\;12\cdot\left(-11\right),\;12\cdot\left(-10\right),\;12\cdot\left(-9\right),\;11\cdot\left(-10\right)\end{array}$
  Das sind die acht Produkte, deren Wert größer als $100$ ist, und die achte Produkte, deren Wert kleiner als - $100$ ist.
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3. Wie viele haben einen Betrag kleiner als $4$ ?
  Produkte
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mit Betrag rechnen
  Es gibt $33$ Produkte, deren Betrag kleiner als $4$ ist. Diese teilen sich folgendermaßen auf:
  $9$ Produkte: $(\pm3)\cdot(\pm1),\;\;(\pm2)\cdot(\pm1),\;\;1\cdot(-1)$
  $24$ Produkte, in denen ein Faktor $0$ ist. Dabei wird der Faktor $0$ mit einer beliebigen ganzen Zahl zwischen $-12$ und $12$ , die nicht Null sein darf, multipliziert.
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7
Wie viele Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -11, -10,…, -1, 0, 1,…, 10, 11 haben einen …
1. Wert größer als 100?
  Produkte
  
  Es sind vier Produkte, die einen Wert größer als 100 haben: $10\cdot11,\;-10\cdot\left(-11\right),\;11\cdot11,\;-11\cdot\left(-11\right)$
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2. Betrag kleiner als 3?
  Produkte
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mit Betrag rechnen
  Vorgehensweise: Es werden Produkte gesucht, deren Betrag kleiner als 3 ist.
  Es gibt 22 Produkte, die $0$ ergeben: $0$ multipliziert mit einem beliebigen zweiten Faktor $\neq0$ . Für diesen beliebigen Faktor gibt es die 22 Möglichkeiten.
  Außerdem gibt es 6 weitere Produkte: $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right),\;1\cdot\left(\pm1\right),\;\left(-1\right)\cdot\left(-2\right),\;1\left(\pm2\right)$ .
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Insgesamt sind es also 28 Produkte, deren Betrag kleiner als 3 ist.
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8
In den folgenden Multiplikationspyramiden beinhaltet jeder Baustein das Produkt der Zahlen der beiden Bausteine, auf denen er ruht.
1. Fülle die Pyramiden aus.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen
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2. Wie ändert sich die Zahl an der Spitze, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit $-1$ multipliziert bzw. mit $-2$ multipliziert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen
  Das Ergebnis bleibt gleich, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit $-1$ multipliziert.
  Das Ergebnis wird mit $256$ multipliziert, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit $-2$ multipliziert.
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3. In der untersten Reihe einer solchen (vierschichtigen) Pyramide stehen nacheinander die Zahlen $2, 3, 5$ , und $7$ . Gib die Primfaktorzerlegung der Zahl an der Spitze an!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen
  Das Ergebnis lautet dann: $2\cdot3^3\cdot5^3\cdot7$
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4. In der untersten Reihe einer derartigen Pyramide mit $8$ Schichten stehen abwechselnd Zahlen größer und kleiner $0$ . Welches Vorzeichen hat die Zahl an der Spitze?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation und Division ganzer Zahlen
  Behauptung: Das Vorzeichen der Zahl an der Spitze ist positiv.
  Nachweis: In der achten Schicht wechseln sich die Vorzeichen immer ab. Somit sind die Vorzeichen der Einträge in der siebten Schicht als Produkte einer positiven und einer negativen Zahl alle negativ. Die Einträge der sechsten Schicht sind dann jedoch alle positiv, da sie Produkte zweier negativer Zahlen sind. Da die Produkte positiver Zahlen wieder positiv sind, sind alle Einträge auf den höheren Ebenen wieder positiv. Somit auch das Vorzeichen der Zahl an der Spitze.
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9
Aus den Zahlen $-48, -32, -24, -3, 2, 6, 15, 30$ lassen sich sehr viele berechenbare Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) bilden. Dividend und Divisor müssen dabei jeweils verschiedene Zahlen sein. Suche den Quotienten mit dem … Schreibe die Lösung nach folgendem Muster: -24:(-3)=8.
1. kleinsten Wert,
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
  Stelle alle möglichen Kombinationen auf.
  Alle Kombinationen
  Kombinationen mit …
  $30$ als Dividend
  $30:15=2$
  $30:6=5$
  $30:2=15$
  $30:\left(-3\right)=-10$
  $15$ als Dividend
  $15:\left(-3\right)=-5$
  $6$ als Dividend
  $6:2=3$
  $6:\left(-3\right)=-2$
  $2$ als Dividend
  keine Division ohne Rest möglich
  $-3$ als Dividend
  keine Division ohne Rest möglich
  $-24$ als Dividend
  $-24:6=-4$
  $-24:2=-12$
  $-24:\left(-3\right)=8$
  $-32$ als Dividend
  $-32:2=-16$
  $-48$ als Dividend
  $-48:6=-8$
  $-48:2=-24$
  $-48:\left(-3\right)=16$
  $-48:\left(-24\right)=2$
  Antwort
  $-48:2=-24$ ist der gesuchte kleinste Quotient.
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2. größten Wert,
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
  $-48:\left(-3\right)=16$ ist der gesuchte größte Quotient.
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3. betragskleinsten Wert
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
  $\left|6:\left(-3\right)\right|=30:15=2$ sind die beiden gesuchten Quotienten.
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10
Bilde anhand folgender Sätze einen Term und berechne … Trage in das Eingabefeld dein Endergebnis ein.
1. die Differenz aus dem Produkt von $17$ und $-4$ und der Zahl $-38$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenz
  $17,\;-4,\;-38$
  Produkt von $17$ und $-4$ bilden.
  $17\cdot \left(-4\right)=-68$
  Differenz zu $-38$ bilden
  $-68-\left(-38\right)$
  $=-68+38\\=-30$
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2. das Produkt aus der Differenz von $17$ und $-4$ und der Zahl $-38$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenz
  $17,\;-4,\;-38$
  Differenz aus $17$ und $-4$ bilden.
  $17-\left(-4\right)$
  $=17+4\\=21$
  Produkt mit $-38$ bilden.
  $21\cdot \left(-38\right)=-798$
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3. die Summe aus dem Produkt und der Differenz der Zahlen $-4$ und $-38$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenz
  $17,\;-4,\;-38$
  Produkt aus $-4$ und $-38$ bilden
  $\left(-4\right)\cdot \left(-38\right)=152$
  Differenz aus $-4$ und $-38$ bilden
  $\left(-4\right)-\left(-38\right)$
  $=\left(-4\right)+38\\=34$
  Summe aus den beiden Ergebnissen bilden.
  $152+34=186$
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11
Verbinde die Zahlen $-25, -9, 11$ und $-4$ mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …
1. positiv bzw. negativ ist,
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
  Term mit positivem Wert: $\left(-9\right)\cdot\left(-4\right)-\left(-25\right)\cdot11=311$
  Term mit negativem Wert: $\left(-25\right)+\left(-9\right)+11+\left(-4\right)=-27$
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2. so groß wie möglich ist,
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
  Term mit maximalem Wert: $\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11-\left(-4\right)=2479$
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3. so klein wie möglich ist,
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
  Term mit minimalem Wert: $\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11\cdot\left(-4\right)=-9900$
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4. möglichst nahe bei 0 liegt
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
  Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt:
  $(-25)-11+(-9)\cdot(-4)=0$
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Subtrahiere die Summe von -16 und 4 vom 8-fachen Quotienten dieser Zahlen.

13
Es lassen sich auch magische Quadrate bilden, bei denen das Produkt aller Zahlen einer Zeile, Spalte und Diagonale gleich ist:
$\begin{pmatrix}-4 & 128 & -64 \\ 512 & -32 & -2\\ -16 & -8 & 256 \end{pmatrix}$
1. Überprüfe alle Produkte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
  Zeilenprodukte:
  $(-4)\cdot 128\cdot \left(-64\right)=32.768$
  $512\cdot \left(-32\right)\cdot \left(-2\right)=32.768$
  $(-16)\cdot \left(-8\right)\cdot 256=32.768$
  Spaltenprodukte:
  $(-4)\cdot 512\cdot \left(-16\right)=32.768$
  $128\cdot \left(-32\right)\cdot \left(-8\right)=32.768$
  $(-64)\cdot \left(-2\right)\cdot 256=32.768$
  Diagonalenprodukte:
  $(-4)\cdot\left(-32\right)\cdot256=32.768$
  $(-64)\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-16\right)=-32.768$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Das Quadrat ist nicht magisch. Denn es enthält einen Fehler: Das Produkt der Einträge einer Diagonale ist im Gegensatz zu allen anderen Produkten negativ.
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2. Konstruiere aus der Vorlage ein magisches $3\times3-Quadrat$ . Nutze die Beträge der Einträge.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
  Folgendes Quadrat ist z. B. magisch:
  $\begin{pmatrix}4 & 512 & 16 \\ 128 & 32 & 8\\ 64 & 2 & 256 \end{pmatrix}$
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  Das negative Produkt aus Aufgabenteil (a) macht Probleme. Wie könnte man die Vorzeichen ändern, damit alle einheitlich sind?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 12-2\cdot5^3$	$=$	$\displaystyle 12-2\cdot125$
	↓	Beachte "Punkt vor Strich".
	$=$	$\displaystyle 12-250$
	$=$	$\displaystyle -238$

$\displaystyle \left(12-2\right)\cdot5^3$	$=$	$\displaystyle 10\cdot125$
	$=$	$\displaystyle 1250$

$\displaystyle \left[\left(12-2\right)\cdot5\right]^3$	$=$	$\displaystyle 50^3$
	$=$	$\displaystyle 125\ 000$

$\displaystyle \left(12-2\cdot5\right)^3$	$=$	$\displaystyle 2^3$
	$=$	$\displaystyle 8$

$\displaystyle 12-\left(2\cdot5\right)^3$	$=$	$\displaystyle 12-1000$
	$=$	$\displaystyle -988$

$\displaystyle 8\cdot\left[\dfrac{-16}{4}\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]$	$=$	$\displaystyle 8\cdot\left(-4\right)-\left[\left(-16\right)+4\right]$
	↓	Berechne den Wert der Summe
	$=$	$\displaystyle 8\cdot\left(-4\right)-\left(-12\right)$
	↓	Multipliziere
	$=$	$\displaystyle \left(-32\right)-\left(-12\right)$
	↓	Addiere. Beachte: Minus und Minus ergibt Plus.
	$=$	$\displaystyle \left(-32\right)+12$
	$=$	$\displaystyle \left(-20\right)$

Gemischte Aufgaben zum Rechnen mit ganzen Zahlen

35 als Dividend

12 als Dividend

0 als Dividend

-1 als Dividend

-4 als Dividend

-7 als Dividend

Zusammenfassung

Negative Teiler von -30

Ergebnis

Lösung durch Primfaktorzerlegung

Kombinationen aus 2 Zahlen

Kombinationen aus 3 Zahlen

Kombination aus allen 4 Zahlen

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

3. Möglichkeit

4. Möglichkeit

5. Möglichkeit

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit

3. Möglichkeit

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Alle Kombinationen

3030 30 als Dividend

1515 15 als Dividend

66 6 als Dividend

22 2 als Dividend

keine Division ohne Rest möglich

−3-3−3 als Dividend

keine Division ohne Rest möglich

−24-24−24 als Dividend

−32-32−32 als Dividend

−48-48−48 als Dividend

Antwort

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Zeilenprodukte:

Spaltenprodukte:

Diagonalenprodukte:

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$30$ als Dividend

$15$ als Dividend

$6$ als Dividend

$2$ als Dividend

$-3$ als Dividend

$-24$ als Dividend

$-32$ als Dividend

$-48$ als Dividend