Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen

Lerne mit diesen Aufgaben, trigonometrische Gleichungen zu lösen. Schaffst du sie alle?

Löse die Gleichung $\sin(2x)=0{,}5$ nach $x$ zwischen $0°$ und $360°$ auf. Verwende dabei die Umkehrfunktion des Sinus (arcsin).

Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an.

$\left(\sin(x)\right)^2=\frac{3}{4}$

${\textstyle\left(\tan(\mathrm x)\right)}^2=1$

$\sin(\mathrm x)=1-\left(\cos(\mathrm x)\right)^2$

$x$	$0$	$\frac\pi2$	$\pi$	$\frac{3\pi}2$
$sin(x)$	$0$	$1$	$0$	$-1$
$cos(x)$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$cos(x)-1$	$0$	$-1$	$-2$	$-1$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \sin\left(2x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
	↓	Wende den $\arcsin\left(\right)$ auf beide Seiten an, um das $x$ aus der Sinusfunktion zu lösen.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\arcsin\left(0{,}5\right)}{2}$

$\displaystyle \left(\sin\left(x\right)\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac34}$
	↓	Wende die Wurzelgesetze an.
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt3}2$
	↓	Löse mit Hilfe von arcsin nach $x$ auf.

$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Nullstellen der Tangensfunktion sind $k\mathrm\pi$ . Dies kannst du im Artikel zur Tangensfunktion nachlesen.

$\displaystyle \left(\tan\left(x\right)\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt1$
	↓	Löse mit Hilfe von $arctan$ nach x auf.
$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \pm1$

$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1-\left(\cos\left(x\right)\right)^2$
	↓	Wende den Trigonometrischen Pythagoras an.
$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\sin\left(x\right)\right)^2$
$\displaystyle \sin\left(x\right)-\left(\sin\left(x\right)\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \sin\left(x\right)\cdot\left(1-\sin\left(x\right)\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

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