Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

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Gegeben ist die Funktion $f (x) = e^{- x^{2}}$ (eine Gaußsche Glockenkurve). Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

f^{'} (x) = - 2 x \cdot e^{- x^{2}}

(Ableitung nach der Kettenregel)

f^{''} (x) = - 2 \cdot e^{- x^{2}} + (- 2 x) (- 2 x) e^{- x^{2}} = - 2 \cdot e^{- x^{2}} + 4 x^{2} \cdot e^{- x^{2}} = e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2})

(Ableitung nach Produktregel)

f^{'''} (x) = - 2 x \cdot e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 8 x = e^{- x^{2}} (4 x - 8 x^{3} + 8 x) = e^{- x^{2}} (12 x - 8 x^{3})

Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:

0 = e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2})

Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird. $e^{- x^{2}}$ wird niemals null, da $e$ nicht null ist. Also brauchst du nur $0 = - 2 + 4 x^{2}$ untersuchen:

0 = - 2 + 4 x^{2}

2 = 4 x^{2}

\frac{1}{2} = x^{2}

Damit erhält man $\sqrt{\frac{1}{2}} = x_{1}$ und $- \sqrt{\frac{1}{2}} = x_{2}$

Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:

f^{'''} (\sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} (12 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} - 8 \cdot {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{3}) = 4 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}} > 0

Also ist $x_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

f^{'''} (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} (12 \cdot (- \sqrt{\frac{1}{2}}) - 8 \cdot (- {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{3})) = - 4 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}} < 0

Also ist $x_{2} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:

f (\sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} = e^{- \frac{1}{2}}

und

f (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} = e^{- \frac{1}{2}}

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{- \frac{1}{2}})$ und $W_{2} (- \sqrt{\frac{1}{2}} | e^{- \frac{1}{2}})$

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