Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=e^{-x^2}$ (eine Gaußsche Glockenkurve). Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

\displaystyle f'\left(x\right)=-2x\cdot e^{-x^2}

(Ableitung nach der Kettenregel)

\displaystyle f''\left(x\right)=-2\cdot e^{-x^2}+\left(-2x\right)\left(-2x\right)e^{-x^2}=-2\cdot e^{-x^2}+4x^2\cdot e^{-x^2}=e^{-x^2}\left(-2+4x^2\right)

(Ableitung nach Produktregel)

\displaystyle f'''\left(x\right)=-2x\cdot e^{-x^2}\left(-2+4x^2\right)+e^{-x^2}\cdot8x=e^{-x^2}\left(4x-8x^3+8x\right)=e^{-x^2}\left(12x-8x^3\right)

Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:

\displaystyle 0=e^{-x^2}\left(-2+4x^2\right)

Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird. $e^{-x^2}$ wird niemals null, da $e$ nicht null ist. Also brauchst du nur $0 = - 2 + 4 x^{2}$ untersuchen:

\displaystyle 0=−2+4x^2

\displaystyle 2=4x^2

\displaystyle \frac{1}{2}=x^2

Damit erhält man $\sqrt{\frac{1}{2}}=x_1$ und $-\sqrt{\frac{1}{2}}=x_2$

Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:

\displaystyle f'''\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=e^{-\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}\left(12\cdot\sqrt{\frac{1}{2}}-8\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^3\right)=4\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}}>0

Also ist $x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

\displaystyle f'''\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=e^{-\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}\left(12\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)-8\cdot\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}^3\right)\right)=-4\sqrt{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}}<0

Also ist $x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.

Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:

\displaystyle f\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=e^{-\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}=e^{-\frac{1}{2}}

und

\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=e^{-\left(-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}=e^{-\frac{1}{2}}

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_1(\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{-\frac{1}{2}})$ und $W_2(-\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{-\frac{1}{2}})$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?