Gemischte Aufgaben zu Zufallsgrößen

Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten

$x_{i}$	-2	0	2	4
$P\left(X=x_i\right)$	a	0,5a	$a^{2}$	0,24

$x_{i}$	30	40	50	60
$P\left(X=x_i\right)$	a	b	0,2	0,2

Es gilt $\mu_X=42$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße

Die Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer den Wert 1 hat, liefert

$\displaystyle a+b+0{,}2+0{,}2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -0{,}4$
$\displaystyle a+b$	$=$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle -b$
	↓	bereite direkt für das Einsetzungsverfahren vor
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 0{,}6-b$

Für den Erwartungswert verwendest du die Formel und setzt mit dem gewünschten Wert gleich:

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle \sum_{x_i\in X}^{ }x_i\cdot P\left(X=x_i\right)$
	↓	Setze auf beiden Seiten ein
$\displaystyle 42$	$=$	$\displaystyle 30a+40b+50\cdot0{,}2+60\cdot0{,}2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 42$	$=$	$\displaystyle 30a+40b+22$	$\displaystyle -22$
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 30a+40b$

Löse das System, z.B. mithilfe des Einsetzungsverfahrens.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrcl} I& a & = & 0{,}6-b\\ II& 20 & = & 30a+40b \end{array}$

I in II:
	↓
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 30\cdot\left(0{,}6-b\right)+40b$
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle 18-30b+40b$	$\displaystyle -18$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 10b$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle 0{,}2$	$=$	$\displaystyle b$

$x_{i}$	30	40	50	60
$P\left(X=x_i\right)$	0,4	0,2	0,2	0,2

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle P\left(X=-2\right)+P\left(X=0\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=4\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 0{,}4+0{,}2+0{,}16+0{,}24$	$=$	$\displaystyle 1$