Bestimme die ersten drei Ableitungen:

(Produktregel)

Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:

Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. $e^{x}e^x$ kann nicht null werden. Also bleibt:

Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:

Also sind $x_{W_1}=-2+\sqrt{2}x\_\{W\_1\}=-2+\backslash sqrt\{2\}$ und $x_{W_2}=-2-\sqrt{2}x\_\{W\_2\}=-2-\backslash sqrt\{2\}$ Wendestellen.

Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_1(-\mathrm{0,59}\mathrm{\mid }\mathrm{0,19})W\_1\backslash left(-0\{,\}59|0\{,\}19\backslash right)$ und $W_2(-\mathrm{3,41}\mathrm{\mid }\mathrm{0,38})W\_2\backslash left(-3\{,\}41|0\{,\}38\backslash right)$.

Um den Anstieg in den Wendepunkten zu ermitteln setzt man die Wendestellen in die erste Ableitung ein:

Die Tangenten in den Wendepunkten sind Geraden. Diese kann man allgemein mit in der Form $y=mx+ny=mx+n$ darstellen. Aus den vorangegangenen Aufgaben kennen wir bereits die Koordinaten der Wendepunkte ($W_1(-\mathrm{0,59}\mathrm{\mid }\mathrm{0,19})W\_1\backslash left(-0\{,\}59|0\{,\}19\backslash right)$ und $W_2(-\mathrm{3,14}\mid \mathrm{0,38})W\_2(-3\{,\}14\mid 0\{,\}38)$) und den Anstieg in den Wendepunkten ($-\mathrm{0,46}-0\{,\}46$ und $\mathrm{0,16}0\{,\}16$). Wir müssen nun nur noch die Informationen in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen, um n zu ermitteln.

Für die Tangente in $W_{1}W\_1$: $\mathrm{0,19}=-\mathrm{0,46}\cdot (-\mathrm{0,59})+n0\{,\}19=-0\{,\}46\backslash cdot\backslash left(-0\{,\}59\backslash right)\backslash \; +n$, also $n\approx -\mathrm{0,08}n\backslash approx-0\{,\}08$. Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y=-\mathrm{0,46}x-\mathrm{0,08}y=-0\{,\}46x-0\{,\}08$.

Für die Tangente in $W_{2}W\_2$: $\mathrm{0,38}=\mathrm{0,16}\cdot (-\mathrm{3,14})+n0\{,\}38=0\{,\}16\backslash cdot\backslash left(-3\{,\}14\backslash right)\backslash \; +n$, also $n\approx \mathrm{0,88}n\backslash approx0\{,\}88$. Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y=\mathrm{0,16}x+\mathrm{0,88}y=0\{,\}16x+0\{,\}88$.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_1(-0.59\mathrm{\mid }0.19)W\_1\backslash left(-0.59|0.19\backslash right)$ den Anstieg $-\mathrm{0,46}-0\{,\}46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $-\mathrm{0,46}-0\{,\}46$ beträgt: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^x(2x+x^2)=-\mathrm{0,46}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=e^x\backslash left(2x+x^2\backslash right)=-0\{,\}46$.

Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur die eine Lösung $-\mathrm{0,59}-0\{,\}59$ gibt. Es existiert also keine zweite Tangente, die parallel zur Tangente im Wendepunkt $W_{1}W\_1$ ist. (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_2(-\mathrm{3,14}\mid \mathrm{0,38})W\_2(-3\{,\}14\mid 0\{,\}38)$ den Anstieg $\mathrm{0,16}0\{,\}16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $\mathrm{0,16}0\{,\}16$ beträgt: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^x(2x+x^2)=\mathrm{0,16}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=e^x\backslash left(2x+x^2\backslash right)=0\{,\}16$.

Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell die beiden Lösungen $x_1\approx -\mathrm{3,41}x\_1\backslash approx-3\{,\}41$ und $x_2\approx \mathrm{0,07}x\_2\backslash approx0\{,\}07$. Wobei $x_{1}x\_1$ unsere Wendestelle ist. Es bleibt also $x_{2}x\_2$ als Stelle, bei der es eine Tangente parallel zur zweiten Wendetangente gibt. Für diese Stelle berechnet man zunächst den Funktionswert:

Damit haben wir den Punkt $P(\mathrm{0,07}\mid \mathrm{0,005})P\backslash left(0\{,\}07\mid 0\{,\}005\backslash right)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y=mx+ny=mx+n$ ein, erhalten wir eine zur Wendetangente parallele Tangente:

Also hat die gesuchte Tangente die Gleichung: $y=\mathrm{0,16}x-\mathrm{0,006}y=0\{,\}16x-0\{,\}006$.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_1(-0.59\mid 0.19)W\_1(-0.59\mid 0.19)$ den Anstieg $-\mathrm{0,46}-0\{,\}46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg der Normalen gleich $-\mathrm{0,46}-0\{,\}46$ ist. Da eine Normale senkrecht auf der Tangente steht, sucht man eine Stelle der Funktion, sie eine Tangente hat, die senkrecht zur Wendetangente ist.

Der Anstieg der senkrechten Tangente errechnet sich aus $m_S=-\frac{1}{m_T}m\_S=-\backslash frac\{1\}\{m\_T\}$. Also muss $m_S=-\frac{1}{-\mathrm{0,46}}m\_S=-\backslash frac\{1\}\{-0\{,\}46\}$. Damit muss gelten: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(2x+x^2)=\frac{1}{\mathrm{0,46}}f\text{'}(x)=e^x(2x+x^2)=\backslash frac\{1\}\{0\{,\}46\}$ (Die beiden Minuszeichen heben sich auf).

Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur eine Lösung gibt: $x\approx \mathrm{0,52}x\backslash approx0\{,\}52$ . (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)

Nun berechnet man für die gefundene Stelle den Funktionswert:

Damit haben wir den Punkt $P(\mathrm{0,52}\mid \mathrm{0,44})P(0\{,\}52\mid 0\{,\}44)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg $\frac{1}{\mathrm{0,46}}\backslash frac\{1\}\{0\{,\}46\}$, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y=mx+ny=mx+n$ ein, erhalten wir eine Normale, die parallel zur ersten Wendetangente ist:

Also hat die gesuchte Normale die Gleichung: $y=-\mathrm{0,46}\cdot x+\mathrm{0,68}y=-0\{,\}46\backslash cdot\; x+0\{,\}68$.

Nun berechnen wir auf dem gleichen Weg die Normale, die parallel zur zweiten Wendetangente ist:

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_2(-\mathrm{3,14}\mid \mathrm{0,38})W\_2(-3\{,\}14\mid 0\{,\}38)$ den Anstieg $\mathrm{0,16}0\{,\}16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg $m=-\frac{1}{\mathrm{0,16}}m=-\backslash frac\{1\}\{0\{,\}16\}$ beträgt: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^x(2x+x^2)=-\frac{1}{\mathrm{0,16}}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=e^x\backslash left(2x+x^2\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{0\{,\}16\}$.

Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es keine Lösung gibt. Die oben angegebene Normale bleibt also die einzige Normale, die parallel zu einer Wendetangente ist.