Nachtermin Teil B

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben sind die Funktionen $f_1$ mit der Gleichung $y=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $f_2$ mit der Gleichung $y=0{,}6\cdot0{,}5^{x}+2$ ; $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R})$ .

Geben Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion $f_1$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für $x\in\left[-3;6\right]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
$-3\le x\le7;-4\le y\le7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgraphen von $f_1(x)=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $f_2(x)=0{,}6\cdot0{,}5^x+2$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Fertige dir eine Wertetabelle an oder lass sie dir von deinem Taschenrechner erstellen, um die Graphen zu zeichnen. In folgender Wertetabelle wurden die Funktionswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.
$x$
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
$f_1(x)$
4,7
0,8
-1,1
-2,0
-2,5
-2,8
-2,9
-2,9
-3,0
-3,0
-3,0
$f_2(x)$
6,8
4,4
3,2
2,6
2,3
2,2
2,1
2,0
2,0
2,0
2,0
Zeichne nun die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. Damit erhältst du die Funktionsgraphen.
Anhand des Graphen kann man die Asymptoten der Funktionen vermuten. Die Asymptote von $f_1$ ist $y=-3$ . (Die Asymptote von $f_2$ liegt bei $y=2$ .)
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Punkte $A_n(x|0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3)$ liegen auf dem Graphen zu $f_1$ . Sie sind für $x\gt -3{,}01$ zusammen mit Punkten $B_n$ , $C_n$ und $D_n$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ . Die Punkte $D_n$ liegen auf dem Graphen zu $f_2$ und ihre x-Koordinate ist stets um 1 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ .
Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-1$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Zeichne das Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$ in dein Koordinatensystem ein. Die Animation zeigt dir, wie das geht.
Zeichne noch das Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ ein, wie in dieser Animation gezeigt wird.
Insgesamt bekommst du dadurch diese Zeichnung:
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$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$f_1(x)$	4,7	0,8	-1,1	-2,0	-2,5	-2,8	-2,9	-2,9	-3,0	-3,0	-3,0
$f_2(x)$	6,8	4,4	3,2	2,6	2,3	2,2	2,1	2,0	2,0	2,0	2,0

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Pfeile $\overrightarrow{A_nD_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overrightarrow{A_nD_n}(x)= \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}66\cdot0{,}5^x+5 \end{pmatrix}$ .

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Parallelogramme $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $A(x)=(-1{,}98\cdot0{,}5^x+16)\;\text{FE}$ . Begründen Sie sodann, dass der Flächeninhalt der Parallelogramme $A_nB_nC_nD_n$ stets kleiner als $16\;\text{FE}$ ist.

Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Rechteck $A_3B_3C_3D_3$ . Begründen Sie, dass es sich bei dem Rechteck $A_3B_3C_3D_3$ um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung die x-Koordinate des Punktes $A_3$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Wenn es sich um ein Rechteck bzw. Quadrat handeln soll, müssen die beiden Vektoren $\overrightarrow{A_3B_3}$ und $\overrightarrow{A_3D_3}$ senkrecht aufeinander stehen: $\;\Rightarrow\;$ $\overrightarrow{A_3B_3}\circ\overrightarrow{A_3D_3}=0$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\cdot 1+(-1)\cdot v_y$	$\displaystyle +v_y$
$\displaystyle v_y$	$=$	$\displaystyle 3$

Der Vektor lautet dann: $\overrightarrow{A_3D_3}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ .

Die Beträge der beiden Vektoren $\left|\overrightarrow{A_3B_3}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_3D_3}\right|$ sind gleich groß. Das Rechteck $A_3B_3C_3D_3$ ist somit ein Quadrat.

Die y-Komponente des Vektors $\overrightarrow{A_3D_3}$ ist hier $3$ bzw. $-0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$ .

Für $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$ setze $3= -0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$ :

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$	$\displaystyle -5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -0{,}66\cdot 0{,}5^x$	$\displaystyle :(-0{,}66)$
$\displaystyle \dfrac{-2}{-0{,}66}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$
	↓	Vereinfache den Bruch.
$\displaystyle \dfrac{100}{33}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$	$\displaystyle \log_{0{,}5}()$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5}\left(\frac{100}{33}\right)$
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle -1{,}60$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1{,}60\}$

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$\displaystyle \overrightarrow{A_nD_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+1 -x\\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x+1}+2-( 0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3) \end{pmatrix}$
	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x+1}+2- 0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}+3 \end{pmatrix}$
	↓	Schreibe $0{,}5^{x+1}$ als $0{,}5^x\cdot5^1$ und $0{,}12\cdot 0{,}5^{x-3}$ als $0{,}12\cdot 5^x\cdot 0{,}5^{-3}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x}\cdot 0{,}5^1+2- 0{,}12\cdot0{,}5^{x}\cdot 0{,}5^{-3}+3 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}3\cdot0{,}5^{x}- 0{,}96\cdot0{,}5^{x}+5 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle \left\|\det\begin{pmatrix}{3}&{1}\\-1&-0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|3\cdot (-0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5)-1\cdot(-1)\right\|$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \left\|-1{,}98\cdot0{,}5^{x}+15+1\right\|$
	↓	Fasse zusammen. Die Betragsstriche können weggelassen werden, da der Term $-1{,}98\cdot0{,}5^x+16$ für $x>-3{,}01$ größer null ist.
	$=$	$\displaystyle -1{,}98\cdot0{,}5^x+16$