Nachtermin Teil B

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Nachtermin Teil B

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Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y=0{,}6\cdot0{,}5^{x}+2$ ; $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times \mathbb{R})$ .

Geben Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion $f_{1}$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für $x\in\left[-3;6\right]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
$-3\le x\le7;-4\le y\le7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgraphen von $f_1(x)=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $f_2(x)=0{,}6\cdot0{,}5^x+2$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Fertige dir eine Wertetabelle an oder lass sie dir von deinem Taschenrechner erstellen, um die Graphen zu zeichnen. In folgender Wertetabelle wurden die Funktionswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.
$x$
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
$f_{1} (x)$
4,7
0,8
-1,1
-2,0
-2,5
-2,8
-2,9
-2,9
-3,0
-3,0
-3,0
$f_{2} (x)$
6,8
4,4
3,2
2,6
2,3
2,2
2,1
2,0
2,0
2,0
2,0
Zeichne nun die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. Damit erhältst du die Funktionsgraphen.
Anhand des Graphen kann man die Asymptoten der Funktionen vermuten. Die Asymptote von $f_{1}$ ist $y = - 3$ . (Die Asymptote von $f_{2}$ liegt bei $y = 2$ .)
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Punkte $A_n(x|0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3)$ liegen auf dem Graphen zu $f_{1}$ . Sie sind für $x\gt -3{,}01$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ , $C_{n}$ und $D_{n}$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte $D_{n}$ liegen auf dem Graphen zu $f_{2}$ und ihre x-Koordinate ist stets um 1 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ .
Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 3$ in das Koordinatensystem zu a) ein.

Zeichne das Parallelogramm $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ in dein Koordinatensystem ein. Die Animation zeigt dir, wie das geht.
Zeichne noch das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ein, wie in dieser Animation gezeigt wird.
Insgesamt bekommst du dadurch diese Zeichnung:
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$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
$f_{1} (x)$	4,7	0,8	-1,1	-2,0	-2,5	-2,8	-2,9	-2,9	-3,0	-3,0	-3,0
$f_{2} (x)$	6,8	4,4	3,2	2,6	2,3	2,2	2,1	2,0	2,0	2,0	2,0

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Pfeile $\overrightarrow{A_nD_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overrightarrow{A_nD_n}(x)= \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}66\cdot0{,}5^x+5 \end{pmatrix}$ .

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=(-1{,}98\cdot0{,}5^x+16)\;\text{FE}$ . Begründen Sie sodann, dass der Flächeninhalt der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ stets kleiner als $16\;\text{FE}$ ist.

Unter den Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es das Rechteck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . Begründen Sie, dass es sich bei dem Rechteck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Wenn es sich um ein Rechteck bzw. Quadrat handeln soll, müssen die beiden Vektoren $\overrightarrow{A_3B_3}$ und $\overrightarrow{A_3D_3}$ senkrecht aufeinander stehen: $\;\Rightarrow\;$ $\overrightarrow{A_3B_3}\circ\overrightarrow{A_3D_3}=0$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\v_y\end{pmatrix}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3\cdot 1+(-1)\cdot v_y$	$\displaystyle +v_y$
$\displaystyle v_y$	$=$	$\displaystyle 3$

Der Vektor lautet dann: $\overrightarrow{A_3D_3}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ .

Die Beträge der beiden Vektoren $\left|\overrightarrow{A_3B_3}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_3D_3}\right|$ sind gleich groß. Das Rechteck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ist somit ein Quadrat.

Die y-Komponente des Vektors $\overrightarrow{A_3D_3}$ ist hier $3$ bzw. $-0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$ .

Für $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$ setze $3= -0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$ :

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$	$\displaystyle -5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -0{,}66\cdot 0{,}5^x$	$\displaystyle :(-0{,}66)$
$\displaystyle \dfrac{-2}{-0{,}66}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$
	↓	Vereinfache den Bruch.
$\displaystyle \dfrac{100}{33}$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^x$	$\displaystyle \log_{0{,}5}()$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5}\left(\frac{100}{33}\right)$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle -1{,}60$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1{,}60\}$

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Punkte $A_n(x|-0{,}6x-1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = - 0,6 x - 1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ für $x > - 1$ Eckpunkte von Rechtecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Punkte $M_{n}$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[A_{n} D_{n}]$ und liegen auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $y = 0,4 x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R})$ .

Es gilt: $[A_{n} D_{n}]$ senkrecht zu $h$ und $\overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Rechtecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für
$x = 0,5$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ : $-2\leq x\leq11; -4\leq y\leq7$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Zeichnung der Geraden g:
$y = - 0,6 x - 1$ :
Nach der allgemeinen Formel einer linearen Funktion: $y = m x + b$
Startpunkt ist der y-Achsenabschnitt $b$ , in diesem Fall ist $b = - 1$ , damit ist der Startpunkt $(0 ∣ - 1)$ (blau).
Die Steigung: $m=-0{,}6=-\frac{6}{10}=\frac{-3}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $3$ nach unten (rot)).
Anschließend verbinden wir Start- und Endpunkt.
Zeichnung der Geraden h: $y = 0,4 x$ :
Da wir in dieser Gleichung keine Konstante haben, ist unser Startpunkt $(0 ∣ 0)$ (blau).
Die Steigung: $m=0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $2$ nach oben (rot)).
Nun verbinden wir wieder den Start- und Endpunkt miteinander.
Zeichnung der Rechtecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ mit $x = 0,5$ :
Punkt $A (x ∣ - 0,6 x - 1)$ mit $x = 0,5$
$y(0{,}5)=-0{,}6\cdot\left(0{,}5\right)-1\\\phantom{,,,,,,,,,,}=-0{,}3-1=-1{,}3$ Wir zeichnen den Punkt $A_1(0{,}5|-1{,}3)$ in das Koordinatensystem ein.
$\left[A_nD_n\right]\bot h$ :
Wir zeichnen folglich eine Senkrechte (blau) durch $A_{1}$ auf $h$ und spiegeln den Punkt $A_{1}$ an dieser, so erhalten wir Punkt $D_{1}$ .
Da Rechtecke $90^\circ$ -Winkel haben, zeichnen wir zwei Parallelen (blau) durch die Punkte $A_{1}$ und $D_{1}$ zur Symmetrieachse $h$ (rot).
$\overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}$ : Wir nehmen $\overline{A_1D_1}$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die Parallelen (grün).
Anschließend nehmen wir $\overline{A_1M_1}$ in den Zirkel und ergänzen die Strecke auf den Parallelen (grün), so erhalten wir die Punkte $B_{1}$ und später auch $C_{1}$ . Hierbei wurde der Zirkel im Schnittpunkt des Kreises mit den Parallelen eingestochen.
In der Abbildung wurde nur das Vorgehen für $B_{1}$ gezeigt (aus Gründen der Übersichtlichkeit), gleiches wird für $C_{1}$ gemacht.
Zeichnung des Rechtecks  $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ und  $x = 2$ :
Das gleiche Vorgehen wie oben mit $x = 2$ :
$A (x ∣ - 0,6 x - 1)$ : $y(2)=-0{,}6\cdot2-1=-2{,}2$
Parallelen zeichnen zu $h$ durch $A_{2}$ und $D_{2}$ .
Die Länge $\overline{A_2D_2}$ auf die Parallelen mit dem Zirkel abtragen und danach die Länge $\overline{A_2M_2}$ .
Eckpunkte miteinander verbinden.
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n} .$

Ergebnis: $[D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Die Koordinaten von $D_{n}$ in Abhängigkeit der Abszisse x:

Wir kennen die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Der Punkt $A_n(x|-0{,}6x-1)$ wird an der Geraden $h:\;y=0{,}4x$ gespiegelt.

Der Spiegelpunkt ist der Punkt $D_{n}$ mit den Koordinaten $D_{n} (x^{'} ∣ y^{'})$ .

Wir lesen die Steigung aus der Geradengleichung ab und berechnen den Winkel mit der Formel $m=\tan{\alpha}$ .

$h:\;y=0{,}4x\;\Rightarrow\;m=0{,}4$

$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$	$\displaystyle \tan^{-1}()$
	↓	Auflösung nach $\alpha$ .
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}(0{,}4)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 21{,}80^\circ$

Der Winkel $\alpha=21{,}80^\circ$ und der Punkt $A (x ∣ - 0,6 x - 1)$ werden in die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden eingesetzt, um die Koordinaten des Spiegelpunktes $D_{n} (x^{'} ∣ y^{'})$ zu erhalten:

Für $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , $x\in \mathbb{R}$ und $x > - 1$ gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\cos{2 \alpha} & \sin{2 \alpha}\\\sin{2\alpha}& -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)} & \sin{(2 \cdot 21{,}80^\circ)}\\\sin{(2\cdot 21{,}80^\circ)}& -\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{43{,}60^\circ} & \sin{43{,}60^\circ}\\\sin{43{,}60^\circ}& -\cos{43{,}60^\circ}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72 & 0{,}69\\0{,}69& -0{,}72\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72x+ 0{,}69\cdot (-0{,}6x-1)\\0{,}69x-0{,}72\cdot(-0{,}6x-1) \end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}31x-0{,}69\\1{,}12x+0{,}72\end{pmatrix}\end{array}$

Damit haben die Punkte $D_{n}$ die Koordinaten $D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)$ .

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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .

$[\text{Ergebnis}:A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Rechteck

Die Fläche eines Rechtecks ist $A=a\cdot b$ .

Dabei ist $a=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|$ und $b=|\overline{A_nD_n}|$ .

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\overrightarrow{D_n}(x)-\overrightarrow{A_n}(x)$ :

$\displaystyle \overrightarrow{A_nD_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}31x-0{,}69 \\ 1{,}12x+0{,}72 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x \\ -0{,}6x-1 \end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}31x-0{,}69-x \\ 1{,}12x+0{,}72-(-0{,}6x-1) \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$ .

$|\overrightarrow{A_nD_n}|=\sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}$

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$ für $x\in \mathbb{R}$ und $x > - 1$

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot \sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}\cdot\sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot[(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2]$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(0{,}4761x^2+0{,}9522x+0{,}4761+2{,}9584x^2+5{,}9168x+2{,}9584)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(3{,}4345x^2+6{,}869x+3{,}4345)$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle 5{,}15175x^2+10{,}3035+5{,}15175$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15$

Der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ lautet:

\displaystyle A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}

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Im Rechteck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $A_{3}$ auf der Geraden mit der Gleichung

$y = - x; ($ $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}).$

Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .

[Ergebnis: $B_n(3{,}58x+2{,}58|0{,}44x+0{,}04)$ ].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoraddition

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$ .

Benötigt wird ein Vektor, der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$ steht.

Der Vektor $\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ , denn

$\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}=ab-ba=0$ .

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n\perp}(x)=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\-(-0{,}69x-0{,}69 ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\0{,}69x+0{,}69 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$ .

Für den Punkt $B$ gilt dann die Vektorgleichung:

$\overrightarrow{OB_n}(x)=\overrightarrow{OA_n}(x)+1{,}5\cdot \overrightarrow{A_nD_n\perp}$

$\displaystyle \overrightarrow{OB_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ -0{,}6x-1 \end{pmatrix}+1{,}5\cdot \begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\0{,}69x+0{,}69 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+1{,}5\cdot 1{,}72x+1{,}5\cdot 1{,}72 \\ -0{,}6x-1+1{,}5\cdot 0{,}69x+1{,}5\cdot 0{,}69 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+2{,}58x+2{,}58 \\ -0{,}6x-1+1{,}035x+1{,}035 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3{,}58x+2{,}58 \\ 0{,}435x+0{,}035 \end{pmatrix}$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx ≈$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3{,}58x+2{,}58 \\ 0{,}44x+0{,}04 \end{pmatrix}$

Die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ lauten demnach:

\displaystyle B_n(3{,}58x+2{,}58|0{,}44x+0{,}04)

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Für das Rechteck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: Die y-Koordinate des Punktes $B_{4}$ ist um $3$ größer als die y-Koordinate von $A_{4}$ .

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{4}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -0{,}6x-1$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle +x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0{,}4x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 0{,}4x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :0{,}4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle 0{,}44x+0{,}04$	$=$	$\displaystyle -0{,}6x-1+3$	$\displaystyle +0{,}6x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}04x+0{,}04$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -0{,}04$
$\displaystyle 1{,}04x$	$=$	$\displaystyle 1{,}96$	$\displaystyle :1{,}04$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1{,}96}{1{,}04}$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}88$

$\displaystyle \overrightarrow{A_nD_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+1 -x\\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x+1}+2-( 0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3) \end{pmatrix}$
	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x+1}+2- 0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}+3 \end{pmatrix}$
	↓	Schreibe $0{,}5^{x+1}$ als $0{,}5^x\cdot5^1$ und $0{,}12\cdot 0{,}5^{x-3}$ als $0{,}12\cdot 5^x\cdot 0{,}5^{-3}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}6\cdot0{,}5^{x}\cdot 0{,}5^1+2- 0{,}12\cdot0{,}5^{x}\cdot 0{,}5^{-3}+3 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 0{,}3\cdot0{,}5^{x}- 0{,}96\cdot0{,}5^{x}+5 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle \left\|\det\begin{pmatrix}{3}&{1}\\-1&-0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5\end{pmatrix}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|3\cdot (-0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5)-1\cdot(-1)\right\|$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \left\|-1{,}98\cdot0{,}5^{x}+15+1\right\|$
	↓	Fasse zusammen. Die Betragsstriche können weggelassen werden, da der Term $-1{,}98\cdot0{,}5^x+16$ für $x > - 3,01$ größer null ist.
	$=$	$\displaystyle -1{,}98\cdot0{,}5^x+16$

$\displaystyle A_{A_3B_3C_3D_3}(2{,}5)$	$=$	$\displaystyle 5{,}15\cdot 2{,}5^2+10{,}30\cdot 2{,}5+5{,}15$
	$=$	$\displaystyle 32{,}1875+25{,}75+5{,}15$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 63{,}0875$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 63{,}09$