In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgraphen von $f_1(x)=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $f_2(x)=0{,}6\cdot0{,}5^x+2$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Fertige dir eine Wertetabelle an oder lass sie dir von deinem Taschenrechner erstellen, um die Graphen zu zeichnen. In folgender Wertetabelle wurden die Funktionswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.

Zeichne nun die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. Damit erhältst du die Funktionsgraphen.

Anhand des Graphen kann man die Asymptoten der Funktionen vermuten. Die Asymptote von $f_1$ ist $y=-3$. (Die Asymptote von $f_2$ liegt bei $y=2$.)

Zeichne das Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$ in dein Koordinatensystem ein. Die Animation zeigt dir, wie das geht.

Zeichne noch das Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ ein, wie in dieser Animation gezeigt wird.

Insgesamt bekommst du dadurch diese Zeichnung:

$A_n(x|0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3)$ und $D_n(x+1|0{,}6\cdot0{,}5^{x+1}+2)$ mit $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$

Also ist $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ -0{,}66\cdot0{,}5^{x}+5 \end{pmatrix}$ für $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$.

$A(x)=\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{A_nB_n}&\overrightarrow{A_nD_n}\end{pmatrix}\right|$

Somit ist $A(x)=(-1{,}98\cdot0{,}5^{x}+16)\;\text{FE}$ für $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$.

Der Term $-1{,}98\cdot0{,}5^{x}$ ist für die möglichen x-Werte stets kleiner null, sodass der gesamte Flächeninhalt immer kleiner als $16\;\text{FE}$ ist.

Wenn es sich um ein Rechteck bzw. Quadrat handeln soll, müssen die beiden Vektoren $\overrightarrow{A_3B_3}$ und $\overrightarrow{A_3D_3}$ senkrecht aufeinander stehen: $\;\Rightarrow\;$$\overrightarrow{A_3B_3}\circ\overrightarrow{A_3D_3}=0$

Der Vektor lautet dann: $\overrightarrow{A_3D_3}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Die Beträge der beiden Vektoren $\left|\overrightarrow{A_3B_3}\right|$ und $\left|\overrightarrow{A_3D_3}\right|$ sind gleich groß. Das Rechteck $A_3B_3C_3D_3$ ist somit ein Quadrat.

Die y-Komponente des Vektors $\overrightarrow{A_3D_3}$ ist hier $3$ bzw. $-0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$.

Für $x\in \mathbb{R};\;x>-3{,}01$ setze $3= -0{,}66\cdot 0{,}5^x+5$:

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1{,}60\}$

Die Koordinaten von $D_n$ in Abhängigkeit der Abszisse x:

Wir kennen die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Der Punkt $A_n(x|-0{,}6x-1)$ wird an der Geraden $h:\;y=0{,}4x$ gespiegelt.

Der Spiegelpunkt ist der Punkt $D_n$ mit den Koordinaten $D_n(x'|y')$.

Wir lesen die Steigung aus der Geradengleichung ab und berechnen den Winkel mit der Formel $m=\tan{\alpha}$.

$h:\;y=0{,}4x\;\Rightarrow\;m=0{,}4$

Der Winkel $\alpha=21{,}80^\circ$ und der Punkt $A(x|-0{,}6x-1)$ werden in die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden eingesetzt, um die Koordinaten des Spiegelpunktes $D_n(x'|y')$ zu erhalten:

Für $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}$ und $x>-1$ gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\cos{2 \alpha} & \sin{2 \alpha}\\\sin{2\alpha}& -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)} & \sin{(2 \cdot 21{,}80^\circ)}\\\sin{(2\cdot 21{,}80^\circ)}& -\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{43{,}60^\circ} & \sin{43{,}60^\circ}\\\sin{43{,}60^\circ}& -\cos{43{,}60^\circ}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72 & 0{,}69\\0{,}69& -0{,}72\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72x+ 0{,}69\cdot (-0{,}6x-1)\\0{,}69x-0{,}72\cdot(-0{,}6x-1) \end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}31x-0{,}69\\1{,}12x+0{,}72\end{pmatrix}\end{array}$

Damit haben die Punkte $D_n$ die Koordinaten $D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)$.

Die Fläche eines Rechtecks ist $A=a\cdot b$.

Dabei ist $a=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|$ und $b=|\overline{A_nD_n}|$.

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\overrightarrow{D_n}(x)-\overrightarrow{A_n}(x)$:

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$.

$|\overrightarrow{A_nD_n}|=\sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}$

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$ für $x\in \mathbb{R}$ und $x>-1$

Der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ lautet:

Der Punkt $A_3(x|-0{,}6x-1)$ liegt auf der Geraden $y=-x$.

$\Rightarrow\;$$-0{,}6x-1=-x$

Für $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ und $x>-1$ ist $\mathbb{L}=\{2{,}5\}$.

Setze $x=2{,}5$ in $A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}$ ein.

Der Flächeninhalt des Rechtecks $A_3B_3C_3D_3$ beträgt $63{,}09 \;\text{FE}$.

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$.

Benötigt wird ein Vektor, der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$ steht.

Der Vektor $\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$, denn

$\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}=ab-ba=0$.

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n\perp}(x)=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\-(-0{,}69x-0{,}69 ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\0{,}69x+0{,}69 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$.

Für den Punkt $B$ gilt dann die Vektorgleichung:

$\overrightarrow{OB_n}(x)=\overrightarrow{OA_n}(x)+1{,}5\cdot \overrightarrow{A_nD_n\perp}$

Die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ lauten demnach:

Es gilt für $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ und $x>-1$: $y_{B_4}=y_{A_4}+3$

Dabei ist $y_{B_4}=0{,}44x+0{,}04$ und $y_{A_4}=-0{,}6x-1$:

Die x-Koordinate des Punktes $A_4$ beträgt $x=1{,}88$.