Nachtermin Teil B

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
1.0 Gegeben sind die Funktionen f1f_1 mit der Gleichung y=0,12⋅0,5x−3−3y=0,12\cdot0,5^{x-3}-3 und f2f_2 mit der Gleichung y=0,6⋅0,5x+2y=0,6\cdot0,5^{x}+2; (G=R \mathbb{G}= \mathbb{R} x R) \mathbb{R}).
1.1 Geben Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion f1f_1 an und zeichnen Sie die Graphen zu f1f_1 und f2f_2 für x∈]−3;6]x \in ]-3;6] in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
−3≤x≤7;−4≤y≤7-3\leq x\leq7; -4\leq y\leq7
1.2 Punkte An(x∣0,12⋅0,5x−3−3)A_n(x|0,12\cdot0,5^{x-3}-3) liegen auf dem Graphen zu f1f_1. Sie sind für x>−3,01x\gt -3,01 zusammen mit Punkten BnB_n, CnC_n und DnD_n Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n . Die Punkte DnD_n liegen auf dem Graphen zu f2f_2 und ihre x-Koordinate ist stets um 1 größer als die Abszisse x der Punkte AnA_n .
Es gilt: AnBn→=(3−1)\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} .
Zeichnen Sie die Parallelogramme A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=−1x=-1 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=3x=3 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Pfeile AnDn→\overrightarrow{A_nD_n} in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n gilt: AnDn→(x)=(1−0,66⋅0,5x+5)\overrightarrow{A_nD_n}(x)= \begin{pmatrix} 1 \\ -0,66\cdot0,5^x+5 \end{pmatrix} .
1.4 Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Parallelogramme AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n gilt: A(x)=(−1,98⋅0,5x+16)A(x)=(-1,98\cdot0,5^x+16) . Begründen Sie sodann, dass der Flächeninhalt der Parallelogramme AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n stets kleiner als 16 FE ist.
1.5 Unter den Parallelogrammen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n gibt es das Rechteck A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 . Begründen Sie, dass es sich bei dem Rechteck A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung die x-Koordinate des Punktes A3A_3.

Lösung 1.1.

In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgraphen von f1(x)=0,12⋅0,5x−3−3f_1(x)=0,12\cdot0,5^{x-3}-3 und f2(x)=0,6⋅0,5x+2f_2(x)=0,6\cdot0,5^x+2 in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Fertige dir eine Wertetabelle an oder lass sie dir von deinem Taschenrechner erstellen, um die Graphen zu zeichnen. In folgender Wertetabelle wurden die Funktionswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

%%f_1(x)%%

4,7

0,8

-1,1

-2,0

-2,5

-2,8

-2,9

-2,9

-3,0

-3,0

-3,0

%%f_2(x)%%

6,8

4,4

3,2

2,6

2,3

2,2

2,1

2,0

2,0

2,0

2,0
Zeichne nun die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. Damit erhältst du die Funktionsgraphen.
Anhand des Graphen kann man die Asymptoten der Funktionen vermuten. Die Asymptote von f1f_1 ist y=−3y=-3. Die Asymptote von f2f_2 liegt bei y=2y=2.
Stimmen die Asymptoten?
Mathematisch ist es keine gute Begründung, etwas von einem Graphen abzulesen und dann zu meinen, dass die daraus entstandene Aussage stimmt. Theoretisch könnte die Asymptote von f1f_1 auch bei y=−3,000007y=-3,000007 liegen, aber die Zeichnung ist zu ungenau, um das ablesen zu können. Du brauchst also eine Begründung, um zu zeigen, dass y=−3y=-3 wirklich die Asymptote ist!
f1f_1 und f2f_2 sind Exponentialfunktionen, da xx nur im Exponenten der Funktionen vorkommt.
Eine Exponentialfunktion der Form axa^x mit a∈]0;1[⊂Ra\in ]0;1[ \subset \mathbb{R}, hat eine Asymptote bei y=0y=0.
Durch das Addieren einer Konstanten (ax+ba^x+b) verschiebt sich diese Asymptote nach oben (b>0b>0) oder unten (b<0b<0). Ein Vorfaktor vor a oder Verschiebungen entlang der x-Achse ändern dies nicht (c⋅ax−d+b\textcolor{ff6600}{c}\cdot a^{x-\textcolor{006400}{d}}+b)
Da f1f_1 um 33 nach unten verschoben wurde, ist ihre Asymptote y=−3y=-3.
Da f2f_2 um 22 nach oben verschoben wurde, ist ihre Asymptote y=2y=2.

Lösung 1.2.

Zeichne das Parallelogramm A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 in dein Korrdinatensystem ein. Die Animation zeigt dir wie das geht.
GeoGebra
Zeichne noch das Parallelogramm A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 ein wie in dieser Animation gezeigt wird.
GeoGebra
Insgesamt bekommst du dadurch diese Zeichnung:
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0. Information
2.0 Punkte An(x∣−0,6x−1)A_n(x|-0,6x-1) liegen auf der Geraden g mit der Gleichung
y=−0,6x−1y=-0,6x-1 (G=R(\mathbb{G}=\mathbb{R} x R)\mathbb{R}). Sie sind zusammen mit Punkten Bn,CnB_n, C_n und DnD_n für x>−1x>-1 Eckpunkte von Rechtecken AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Punkte MnM_n sind die Mittelpunkte der Strecken [AnDn][A_nD_n] und liegen auf der Geraden h mit der Gleichung y=0,4xy=0,4x, (G=R(\mathbb{G}=\mathbb{R} x R)\mathbb{R}). Es gilt: [AnDn][A_nD_n] senkrecht zu h und AnBn‾=1,5⋅AnDn‾\overline{A_nB_n}=1,5\cdot\overline{A_nD_n}.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie die Geraden g und h sowie die Rechtecke A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für
x=0,5x=0,5 und A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=2x=2 in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm: −2≤x≤11;−4≤y≤7-2\leq x\leq11; -4\leq y\leq7.
2.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An.A_n.
Ergebnis: [Dn(0,31x−0,69∣1,12x+0,72)][D_n(0,31x-0,69|1,12x+0,72)]
2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Rechtecke AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n.
[Ergebnis:A(x)=(5,15x2+10,30x+5,15)FE][Ergebnis: A(x)=(5,15x^2+10,30x+5,15)FE]
  1. 
2.4 Im Rechteck A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt der Punkt A3A_3 auf der Geraden mit der Gleichung y=−x;(y=-x; (G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} x R).\mathbb{R}).
Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes A3A_3 und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 .
2.5 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der PunkteBnB_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte AnA_n.
[Ergebnis: Bn(3,58x+2,58∣0,44x+0,04)B_n(3,58x+2,58|0,44x+0,04)].
2.5 Für das Rechteck A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 gilt: Die y-Koordinate des Punktes B4B_4 ist um 3 größer als die y-Koordinate von A4A_4.
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes A4A_4.
Kommentieren Kommentare