Nachtermin Teil B

1.0 Gegeben sind die Funktionen $\sf f_1$ mit der Gleichung $\sf y=0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3$ und $\sf f_2$ mit der Gleichung $\sf y=0{,}6\cdot0{,}5^{x}+2$; ($\sf \mathbb{G}= \mathbb{R}$ x $\sf \mathbb{R})$.

1.1 Geben Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion $\sf f_1$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $\sf f_1$ und $\sf f_2$ für $\sf x \in ]-3;6]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

1.2 Punkte $\sf A_n(x|0{,}12\cdot0{,}5^{x-3}-3)$ liegen auf dem Graphen zu $\sf f_1$. Sie sind für $\sf x\gt -3{,}01$ zusammen mit Punkten $\sf B_n$, $\sf C_n$ und $\sf D_n$ Eckpunkte von Parallelogrammen $\sf A_nB_nC_nD_n$ . Die Punkte $\sf D_n$ liegen auf dem Graphen zu $\sf f_2$ und ihre x-Koordinate ist stets um 1 größer als die Abszisse x der Punkte $\sf A_n$ .

Es gilt: $\sf \overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} \sf 3 \\ \sf -1 \end{pmatrix}$.

Zeichnen Sie die Parallelogramme $\sf A_1B_1C_1D_1$ für $\sf x=-1$ und $\sf A_2B_2C_2D_2$ für $\sf x=3$ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Pfeile $\sf \overrightarrow{A_nD_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $\sf A_n$ gilt: $\sf \overrightarrow{A_nD_n}(x)= \begin{pmatrix} \sf 1 \\ \sf -0{,}66\cdot0{,}5^x+5 \end{pmatrix}$ .

1.4 Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Parallelogramme $\sf A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $\sf A_n$ gilt: $\sf A(x)=(-1{,}98\cdot0{,}5^x+16)$ . Begründen Sie sodann, dass der Flächeninhalt der Parallelogramme $\sf A_nB_nC_nD_n$ stets kleiner als 16 FE ist.

1.5 Unter den Parallelogrammen $\sf A_nB_nC_nD_n$ gibt es das Rechteck $\sf A_3B_3C_3D_3$ . Begründen Sie, dass es sich bei dem Rechteck $\sf A_3B_3C_3D_3$ um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung die x-Koordinate des Punktes $\sf A_3$.

2.0 Punkte $\sf A_n(x|-0{,}6x-1)$ liegen auf der Geraden g mit der Gleichung

$\sf y=-0{,}6x-1$ $\sf (\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\sf \mathbb{R})$. Sie sind zusammen mit Punkten $\sf B_n, C_n$ und $\sf D_n$ für $\sf x>-1$ Eckpunkte von Rechtecken $\sf A_nB_nC_nD_n$. Punkte $\sf M_n$ sind die Mittelpunkte der Strecken $\sf [A_nD_n]$ und liegen auf der Geraden h mit der Gleichung $\sf y=0{,}4x$, $\sf (\mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\sf \mathbb{R})$. Es gilt: $\sf [A_nD_n]$ senkrecht zu h und $\sf \overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}$.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1 Zeichnen Sie die Geraden g und h sowie die Rechtecke $\sf A_1B_1C_1D_1$ für

$\sf x=0{,}5$ und $\sf A_2B_2C_2D_2$ für $\sf x=2$ in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm: $\sf -2\leq x\leq11; -4\leq y\leq7$.

2.2 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $\sf D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $\sf A_n.$

Ergebnis: $\sf [D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)]$

2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Rechtecke $\sf A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $\sf A_n$.

2.4 Im Rechteck $\sf A_3B_3C_3D_3$ liegt der Punkt $\sf A_3$ auf der Geraden mit der Gleichung $\sf y=-x; ($$\sf \mathbb{G}=\mathbb{R}$ x $\sf \mathbb{R}).$

Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes $\sf A_3$ und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks $\sf A_3B_3C_3D_3$ .

2.5 Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte$\sf B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte $\sf A_n$.

[Ergebnis: $\sf B_n(3{,}58x+2{,}58|0{,}44x+0{,}04)$].

2.5 Für das Rechteck $\sf A_4B_4C_4D_4$ gilt: Die y-Koordinate des Punktes $\sf B_4$ ist um 3 größer als die y-Koordinate von $\sf A_4$.

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $\sf A_4$.