Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Punkte $A_{n} (x | - 0,6 x - 1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y = - 0,6 x - 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_{n}, C_{n}$ und $D_{n}$ für $x > - 1$ Eckpunkte von Rechtecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Punkte $M_{n}$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[A_{n} D_{n}]$ und liegen auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $y = 0,4 x$ $(𝔾 = ℝ$ $\times$ $ℝ)$ .

Es gilt: $[A_{n} D_{n}]$ senkrecht zu $h$ und $A_{n} B_{n} = 1,5 \cdot A_{n} D_{n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Rechtecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für
$x = 0,5$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ : $- 2 \leq x \leq 11; - 4 \leq y \leq 7$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Zeichnung der Geraden g:
$y = - 0,6 x - 1$ :
Nach der allgemeinen Formel einer linearen Funktion: $y = m x + b$
Startpunkt ist der y-Achsenabschnitt $b$ , in diesem Fall ist $b = - 1$ , damit ist der Startpunkt $(0 | - 1)$ (blau).
Die Steigung: $m = - 0,6 = - \frac{6}{10} = \frac{- 3}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $3$ nach unten (rot)).
Anschließend verbinden wir Start- und Endpunkt.
Zeichnung der Geraden h: $y = 0,4 x$ :
Da wir in dieser Gleichung keine Konstante haben, ist unser Startpunkt $(0 | 0)$ (blau).
Die Steigung: $m = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $2$ nach oben (rot)).
Nun verbinden wir wieder den Start- und Endpunkt miteinander.
Zeichnung der Rechtecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ mit $x = 0,5$ :
Punkt $A (x | - 0,6 x - 1)$ mit $x = 0,5$
$\begin{array}{l} y (0,5) = - 0,6 \cdot (0,5) - 1 \\ = - 0,3 - 1 = - 1,3 \end{array}$ Wir zeichnen den Punkt $A_{1} (0,5 | - 1,3)$ in das Koordinatensystem ein.
$[A_{n} D_{n}] ⊥ h$ :
Wir zeichnen folglich eine Senkrechte (blau) durch $A_{1}$ auf $h$ und spiegeln den Punkt $A_{1}$ an dieser, so erhalten wir Punkt $D_{1}$ .
Da Rechtecke $90^{\circ}$ -Winkel haben, zeichnen wir zwei Parallelen (blau) durch die Punkte $A_{1}$ und $D_{1}$ zur Symmetrieachse $h$ (rot).
$A_{n} B_{n} = 1,5 \cdot A_{n} D_{n}$ : Wir nehmen $A_{1} D_{1}$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die Parallelen (grün).
Anschließend nehmen wir $A_{1} M_{1}$ in den Zirkel und ergänzen die Strecke auf den Parallelen (grün), so erhalten wir die Punkte $B_{1}$ und später auch $C_{1}$ . Hierbei wurde der Zirkel im Schnittpunkt des Kreises mit den Parallelen eingestochen.
In der Abbildung wurde nur das Vorgehen für $B_{1}$ gezeigt (aus Gründen der Übersichtlichkeit), gleiches wird für $C_{1}$ gemacht.
Zeichnung des Rechtecks  $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ und  $x = 2$ :
Das gleiche Vorgehen wie oben mit $x = 2$ :
$A (x | - 0,6 x - 1)$ : $y (2) = - 0,6 \cdot 2 - 1 = - 2,2$
Parallelen zeichnen zu $h$ durch $A_{2}$ und $D_{2}$ .
Die Länge $A_{2} D_{2}$ auf die Parallelen mit dem Zirkel abtragen und danach die Länge $A_{2} M_{2}$ .
Eckpunkte miteinander verbinden.
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n} .$
Ergebnis: $[D_{n} (0,31 x - 0,69 | 1,12 x + 0,72)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Die Koordinaten von $D_{n}$ in Abhängigkeit der Abszisse x:
Wir kennen die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$
Der Punkt $A_{n} (x | - 0,6 x - 1)$ wird an der Geraden $h : y = 0,4 x$ gespiegelt.
Der Spiegelpunkt ist der Punkt $D_{n}$ mit den Koordinaten $D_{n} (x^{'} | y^{'})$ .
Wir lesen die Steigung aus der Geradengleichung ab und berechnen den Winkel mit der Formel $m = \tan α$ .
$h : y = 0,4 x \Rightarrow m = 0,4$
$\tan (α)$ $=$ $0,4$ $\tan^{- 1} ()$
↓
Auflösung nach $α$ .
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (0,4)$
$α$ $=$ ${21,80}^{\circ}$
Der Winkel $α = {21,80}^{\circ}$ und der Punkt $A (x | - 0,6 x - 1)$ werden in die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden eingesetzt, um die Koordinaten des Spiegelpunktes $D_{n} (x^{'} | y^{'})$ zu erhalten:
Für $𝔾 = ℝ \times ℝ$ , $x \in ℝ$ und $x > - 1$ gilt dann:
$\begin{array}{llll} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot {21,80}^{\circ}) & \sin (2 \cdot {21,80}^{\circ}) \\ \sin (2 \cdot {21,80}^{\circ}) & - \cos (2 \cdot {21,80}^{\circ}) \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 0,6 x - 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} \cos {43,60}^{\circ} & \sin {43,60}^{\circ} \\ \sin {43,60}^{\circ} & - \cos {43,60}^{\circ} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 0,6 x - 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} 0,72 & 0,69 \\ 0,69 & - 0,72 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - 0,6 x - 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0,72 x + 0,69 \cdot (- 0,6 x - 1) \\ 0,69 x - 0,72 \cdot (- 0,6 x - 1) \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 0,31 x - 0,69 \\ 1,12 x + 0,72 \end{array}) \end{array}$
Damit haben die Punkte $D_{n}$ die Koordinaten $D_{n} (0,31 x - 0,69 | 1,12 x + 0,72)$ .
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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .

$[Ergebnis : A (x) = (5,15 x^{2} + 10,30 x + 5,15) FE]$

Im Rechteck $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $A_{3}$ auf der Geraden mit der Gleichung
$y = - x; ($ $𝔾 = ℝ$ $\times$ $ℝ) .$
Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Der Punkt $A_{3} (x | - 0,6 x - 1)$ liegt auf der Geraden $y = - x$ .
$\Rightarrow$ $- 0,6 x - 1 = - x$
$- 0,6 x - 1$ $=$ $- x$ $+ x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$0,4 x - 1$ $=$ $0$ $+ 1$
$0,4 x$ $=$ $1$ $: 0,4$
$x$ $=$ $2,5$
Für $𝔾 = ℝ$ und $x > - 1$ ist $𝕃 = {2,5}$ .
Setze $x = 2,5$ in $A (x) = (5,15 x^{2} + 10,30 x + 5,15) FE$ ein.
$A_{A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}} (2,5)$ $=$ $5,15 \cdot {2,5}^{2} + 10,30 \cdot 2,5 + 5,15$
$=$ $32,1875 + 25,75 + 5,15$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $63,0875$
↓
Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
$\approx$ $63,09$
Der Flächeninhalt des Rechtecks $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ beträgt $63,09 FE$ .
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .

[Ergebnis: $B_{n} (3,58 x + 2,58 | 0,44 x + 0,04)$ ].

Für das Rechteck $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ gilt: Die y-Koordinate des Punktes $B_{4}$ ist um $3$ größer als die y-Koordinate von $A_{4}$ .
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Es gilt für $𝔾 = ℝ$ und $x > - 1$ : $y_{B_{4}} = y_{A_{4}} + 3$
Dabei ist $y_{B_{4}} = 0,44 x + 0,04$ und $y_{A_{4}} = - 0,6 x - 1$ :
$0,44 x + 0,04$ $=$ $- 0,6 x - 1 + 3$ $+ 0,6 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$1,04 x + 0,04$ $=$ $2$ $- 0,04$
$1,04 x$ $=$ $1,96$ $: 1,04$
$x$ $=$ $\frac{1,96}{1,04}$
↓
Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
$\approx$ $1,88$
Die x-Koordinate des Punktes $A_{4}$ beträgt $x = 1,88$ .
$𝕃 = {1,88}$

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\tan (α)$	$=$	$0,4$	$\tan^{- 1} ()$
	↓	Auflösung nach $α$ .
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (0,4)$
$α$	$=$	${21,80}^{\circ}$

$\vec{A_{n} D_{n}} (x)$	$=$	$(\begin{array}{c} 0,31 x - 0,69 \\ 1,12 x + 0,72 \end{array}) - (\begin{array}{c} x \\ - 0,6 x - 1 \end{array})$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$(\begin{array}{c} 0,31 x - 0,69 - x \\ 1,12 x + 0,72 - (- 0,6 x - 1) \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} - 0,69 x - 0,69 \\ 1,72 x + 1,72 \end{array})$

$A (x)$	$=$	$1,5 \cdot \sqrt{(- 0,69 x - 0,69)^{2} + (1,72 x + 1,72)^{2}} \cdot \sqrt{(- 0,69 x - 0,69)^{2} + (1,72 x + 1,72)^{2}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$1,5 \cdot [(- 0,69 x - 0,69)^{2} + (1,72 x + 1,72)^{2}]$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$1,5 \cdot (0,4761 x^{2} + 0,9522 x + 0,4761 + 2,9584 x^{2} + 5,9168 x + 2,9584)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$1,5 \cdot (3,4345 x^{2} + 6,869 x + 3,4345)$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$5,15175 x^{2} + 10,3035 + 5,15175$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx$	$5,15 x^{2} + 10,30 x + 5,15$

$- 0,6 x - 1$	$=$	$- x$	$+ x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$0,4 x - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$0,4 x$	$=$	$1$	$: 0,4$
$x$	$=$	$2,5$

$A_{A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}} (2,5)$	$=$	$5,15 \cdot {2,5}^{2} + 10,30 \cdot 2,5 + 5,15$
	$=$	$32,1875 + 25,75 + 5,15$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$63,0875$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx$	$63,09$

$\vec{O B_{n}} (x)$	$=$	$(\begin{array}{c} x \\ - 0,6 x - 1 \end{array}) + 1,5 \cdot (\begin{array}{c} 1,72 x + 1,72 \\ 0,69 x + 0,69 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} x + 1,5 \cdot 1,72 x + 1,5 \cdot 1,72 \\ - 0,6 x - 1 + 1,5 \cdot 0,69 x + 1,5 \cdot 0,69 \end{array})$
	↓	Vereinfache
	$=$	$(\begin{array}{c} x + 2,58 x + 2,58 \\ - 0,6 x - 1 + 1,035 x + 1,035 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 3,58 x + 2,58 \\ 0,435 x + 0,035 \end{array})$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx$	$(\begin{array}{c} 3,58 x + 2,58 \\ 0,44 x + 0,04 \end{array})$

$0,44 x + 0,04$	$=$	$- 0,6 x - 1 + 3$	$+ 0,6 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$1,04 x + 0,04$	$=$	$2$	$- 0,04$
$1,04 x$	$=$	$1,96$	$: 1,04$
$x$	$=$	$\frac{1,96}{1,04}$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$\approx$	$1,88$

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