Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Punkte $A_n(x|-0{,}6x-1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung

$y=-0{,}6x-1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ . Sie sind zusammen mit Punkten $B_n, C_n$ und $D_n$ für $x>-1$ Eckpunkte von Rechtecken $A_nB_nC_nD_n$ . Punkte $M_n$ sind die Mittelpunkte der Strecken $[A_nD_n]$ und liegen auf der Geraden $h$ mit der Gleichung $y=0{,}4x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R})$ .

Es gilt: $[A_nD_n]$ senkrecht zu $h$ und $\overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Rechtecke $A_1B_1C_1D_1$ für
$x=0{,}5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=2$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ : $-2\leq x\leq11; -4\leq y\leq7$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Zeichnung der Geraden g:
$y=-0{,}6x-1$ :
Nach der allgemeinen Formel einer linearen Funktion: $y=mx+b$
Startpunkt ist der y-Achsenabschnitt $b$ , in diesem Fall ist $b=-1$ , damit ist der Startpunkt $(0|-1)$ (blau).
Die Steigung: $m=-0{,}6=-\frac{6}{10}=\frac{-3}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $3$ nach unten (rot)).
Anschließend verbinden wir Start- und Endpunkt.
Zeichnung der Geraden h: $y=0{,}4x$ :
Da wir in dieser Gleichung keine Konstante haben, ist unser Startpunkt $(0|0)$ (blau).
Die Steigung: $m=0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ (Wir gehen von unserem Startpunkt aus $5$ nach rechts und $2$ nach oben (rot)).
Nun verbinden wir wieder den Start- und Endpunkt miteinander.
Zeichnung der Rechtecke $A_1B_1C_1D_1$ mit $x=0{,}5$ :
Punkt $A(x|-0{,}6x-1)$ mit $x=0{,}5$
$y(0{,}5)=-0{,}6\cdot\left(0{,}5\right)-1\\\phantom{,,,,,,,,,,}=-0{,}3-1=-1{,}3$ Wir zeichnen den Punkt $A_1(0{,}5|-1{,}3)$ in das Koordinatensystem ein.
$\left[A_nD_n\right]\bot h$ :
Wir zeichnen folglich eine Senkrechte (blau) durch $A_1$ auf $h$ und spiegeln den Punkt $A_1$ an dieser, so erhalten wir Punkt $D_1$ .
Da Rechtecke $90^\circ$ -Winkel haben, zeichnen wir zwei Parallelen (blau) durch die Punkte $A_1$ und $D_1$ zur Symmetrieachse $h$ (rot).
$\overline{A_nB_n}=1{,}5\cdot\overline{A_nD_n}$ : Wir nehmen $\overline{A_1D_1}$ in den Zirkel und übertragen die Länge auf die Parallelen (grün).
Anschließend nehmen wir $\overline{A_1M_1}$ in den Zirkel und ergänzen die Strecke auf den Parallelen (grün), so erhalten wir die Punkte $B_1$ und später auch $C_1$ . Hierbei wurde der Zirkel im Schnittpunkt des Kreises mit den Parallelen eingestochen.
In der Abbildung wurde nur das Vorgehen für $B_1$ gezeigt (aus Gründen der Übersichtlichkeit), gleiches wird für $C_1$ gemacht.
Zeichnung des Rechtecks  $A_2B_2C_2D_2$ und  $x=2$ :
Das gleiche Vorgehen wie oben mit $x=2$ :
$A(x|-0{,}6x-1)$ : $y(2)=-0{,}6\cdot2-1=-2{,}2$
Parallelen zeichnen zu $h$ durch $A_2$ und $D_2$ .
Die Länge $\overline{A_2D_2}$ auf die Parallelen mit dem Zirkel abtragen und danach die Länge $\overline{A_2M_2}$ .
Eckpunkte miteinander verbinden.
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Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n.$

Ergebnis: $[D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Die Koordinaten von $D_n$ in Abhängigkeit der Abszisse x:

Wir kennen die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden:

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos{2\alpha} & \sin{2\alpha}\\\sin{2\alpha} & -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Der Punkt $A_n(x|-0{,}6x-1)$ wird an der Geraden $h:\;y=0{,}4x$ gespiegelt.

Der Spiegelpunkt ist der Punkt $D_n$ mit den Koordinaten $D_n(x'|y')$ .

Wir lesen die Steigung aus der Geradengleichung ab und berechnen den Winkel mit der Formel $m=\tan{\alpha}$ .

$h:\;y=0{,}4x\;\Rightarrow\;m=0{,}4$

$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$	$\displaystyle \tan^{-1}()$
	↓	Auflösung nach $\alpha$ .
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}(0{,}4)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 21{,}80^\circ$

Der Winkel $\alpha=21{,}80^\circ$ und der Punkt $A(x|-0{,}6x-1)$ werden in die Formel für eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden eingesetzt, um die Koordinaten des Spiegelpunktes $D_n(x'|y')$ zu erhalten:

Für $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , $x\in \mathbb{R}$ und $x>-1$ gilt dann:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\cos{2 \alpha} & \sin{2 \alpha}\\\sin{2\alpha}& -\cos{2\alpha}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)} & \sin{(2 \cdot 21{,}80^\circ)}\\\sin{(2\cdot 21{,}80^\circ)}& -\cos{(2\cdot 21{,}80^\circ)}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}\cos{43{,}60^\circ} & \sin{43{,}60^\circ}\\\sin{43{,}60^\circ}& -\cos{43{,}60^\circ}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72 & 0{,}69\\0{,}69& -0{,}72\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\-0{,}6x-1\end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}72x+ 0{,}69\cdot (-0{,}6x-1)\\0{,}69x-0{,}72\cdot(-0{,}6x-1) \end{pmatrix}\\\\&=\begin{pmatrix}0{,}31x-0{,}69\\1{,}12x+0{,}72\end{pmatrix}\end{array}$

Damit haben die Punkte $D_n$ die Koordinaten $D_n(0{,}31x-0{,}69|1{,}12x+0{,}72)$ .

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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .

$[\text{Ergebnis}:A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Rechteck

Die Fläche eines Rechtecks ist $A=a\cdot b$ .

Dabei ist $a=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|$ und $b=|\overline{A_nD_n}|$ .

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\overrightarrow{D_n}(x)-\overrightarrow{A_n}(x)$ :

$\displaystyle \overrightarrow{A_nD_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}31x-0{,}69 \\ 1{,}12x+0{,}72 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x \\ -0{,}6x-1 \end{pmatrix}$
	↓	Subtrahiere.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 0{,}31x-0{,}69-x \\ 1{,}12x+0{,}72-(-0{,}6x-1) \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$ .

$|\overrightarrow{A_nD_n}|=\sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}$

$\;\Rightarrow\;A=1{,}5\cdot|\overline{A_nD_n}|\cdot |\overline{A_nD_n}|$ für $x\in \mathbb{R}$ und $x>-1$

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot \sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}\cdot\sqrt{(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot[(-0{,}69x-0{,}69)^2+(1{,}72x+1{,}72)^2]$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(0{,}4761x^2+0{,}9522x+0{,}4761+2{,}9584x^2+5{,}9168x+2{,}9584)$
	↓	Fasse in der Klammer zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(3{,}4345x^2+6{,}869x+3{,}4345)$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle 5{,}15175x^2+10{,}3035+5{,}15175$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$≈$	$\displaystyle 5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15$

Der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ lautet:

\displaystyle A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}

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Im Rechteck $A_3B_3C_3D_3$ liegt der Punkt $A_3$ auf der Geraden mit der Gleichung

$y=-x; ($ $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}).$

Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_3$ und berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Rechtecks $A_3B_3C_3D_3$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .

[Ergebnis: $B_n(3{,}58x+2{,}58|0{,}44x+0{,}04)$ ].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoraddition

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)=\begin{pmatrix} -0{,}69x-0{,}69 \\ 1{,}72x+1{,}72 \end{pmatrix}$ .

Benötigt wird ein Vektor, der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$ steht.

Der Vektor $\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ , denn

$\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}b \\ -a\end{pmatrix}=ab-ba=0$ .

Der Vektor $\overrightarrow{A_nD_n\perp}(x)=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\-(-0{,}69x-0{,}69 ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\0{,}69x+0{,}69 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf $\overrightarrow{A_nD_n}(x)$ .

Für den Punkt $B$ gilt dann die Vektorgleichung:

$\overrightarrow{OB_n}(x)=\overrightarrow{OA_n}(x)+1{,}5\cdot \overrightarrow{A_nD_n\perp}$

$\displaystyle \overrightarrow{OB_n}(x)$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ -0{,}6x-1 \end{pmatrix}+1{,}5\cdot \begin{pmatrix}1{,}72x+1{,}72 \\0{,}69x+0{,}69 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+1{,}5\cdot 1{,}72x+1{,}5\cdot 1{,}72 \\ -0{,}6x-1+1{,}5\cdot 0{,}69x+1{,}5\cdot 0{,}69 \end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} x+2{,}58x+2{,}58 \\ -0{,}6x-1+1{,}035x+1{,}035 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3{,}58x+2{,}58 \\ 0{,}435x+0{,}035 \end{pmatrix}$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$≈$	$\displaystyle \begin{pmatrix} 3{,}58x+2{,}58 \\ 0{,}44x+0{,}04 \end{pmatrix}$

Die Koordinaten der Punkte $B_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ lauten demnach:

\displaystyle A(x)=(5{,}15x^2+10{,}30x+5{,}15)\;\text{FE}

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Für das Rechteck $A_4B_4C_4D_4$ gilt: Die y-Koordinate des Punktes $B_4$ ist um $3$ größer als die y-Koordinate von $A_4$ .

Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes $A_4$ .

$\displaystyle -0{,}6x-1$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle +x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0{,}4x-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 0{,}4x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :0{,}4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle 0{,}44x+0{,}04$	$=$	$\displaystyle -0{,}6x-1+3$	$\displaystyle +0{,}6x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}04x+0{,}04$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -0{,}04$
$\displaystyle 1{,}04x$	$=$	$\displaystyle 1{,}96$	$\displaystyle :1{,}04$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1{,}96}{1{,}04}$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$≈$	$\displaystyle 1{,}88$

$\displaystyle A_{A_3B_3C_3D_3}(2{,}5)$	$=$	$\displaystyle 5{,}15\cdot 2{,}5^2+10{,}30\cdot 2{,}5+5{,}15$
	$=$	$\displaystyle 32{,}1875+25{,}75+5{,}15$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 63{,}0875$
	↓	Runde auf $2$ Stellen nach dem Komma.
	$≈$	$\displaystyle 63{,}09$