Term von f, f' und f'' mit Variablen angeben

Da die Funktion vom Grad 3 ist und keine Aussage über die Symmetrie bekannt ist, hat f die Form

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

Und für die Ableitungen gilt:

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

$f''(x)=6ax+2b$

Bedingungsgleichungen aufstellen

I) geht durch $P(-1|0{,}5) \Rightarrow f(-1)=0{,}5$

II) Wendepunkt auf y-Achse $\Rightarrow f''(0)=0$

III) Steigung der Wendetangente t: $m_t=2 \Rightarrow f'(0)=2$

IV) Koordinaten des Wendepunkts $\Rightarrow f(0)=t(0)=1$

Setze in den Term von oben ein und vereinfache:

I) $0{,}5=-a+b-c+d$

II) $0=6a\cdot 0+2b \Leftrightarrow b=0$

III) $2=3a\cdot 0^2+2b\cdot 0+c \Leftrightarrow c=2$

IV) $1=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d \Leftrightarrow d=1$

Lösen des Gleichungssystems

Da b, c und d jetzt bereits bekannt sind, kannst du damit a ermitteln:

Insgesamt also $f(x)=-1{,}5x^3+2x+1$

1. Ableitung

Die erste Ableitung der Funktion $f(x)=-1{,}5x^3+2x+1$ ist

$f'(x)=-4{,}5x^2+2$

Nullstellen der 1. Ableitung

Löse:

Nachweis und Art über 2. Ableitung

(Alternativ kannst du mit einer Monotonietabelle oder einer aussagekräftigen Skizze der Ableitungsfunktion arbeiten)

Bilde die 2. Ableitung:

$f''(x)=-9x$

Setze die gefundenen x-Werte in die 2. Ableitung ein:

$f''(\frac 2 3)=-6<0 \Rightarrow HOP$

$f''(-\frac 2 3)=6>0\Rightarrow TIP$

Lage der Extrempunkte

Setze die gefundenen x-Werte in die Ausgangsfunktion f ein:

$f(\frac 2 3)=\frac{17}{9}$ und somit $HOP\left(\frac{2}{3}|\frac{17}{9}\right)$

$f(-\frac 2 3)=\frac 1 9$ und somit $TIP(-\frac 2 3|\frac 1 9)$

Folgerung zur Nullstelle

Beide Extrempunkte liegen oberhalb der x-Achse. Aufgrund des negativen Leitkoeffizienten und des ungeraden Grades kommt die Funktion vom II. Quadranten ("von oben") und geht in den IV. Quadranten ("nach unten"). Deshalb hat sie nur eine einfache Nullstelle irgendwo rechts von ihrem Hochpunkt.

Flächenstück markieren

Differenzfunktion bilden

Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion. Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.

Hier verläuft im Intervall $[0;1]$ der Graph $G_t$ oberhalb vom Graph $G_f$, also:

Wert des bestimmten Integrals

Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des bestimmten Integrals

$\displaystyle\int_0^1s(x)dx$

Bestimme den zugehörigen Wert