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Der Graph GfG_f einer auf Df=RD_f=\mathbb R definierten ganzrationalen Funktion f vom Grad drei verläuft durch den Punkt P(10,5)P(-1|0{,}5) und besitzt im Schnittpunkt mit der y-Achse einen Wendepunkt. Für die Wendetangente GtG_t gilt: t:y=2x+1t:y=2x+1 mit der Definitionsmenge Dt=RD_t=\mathbb R.

  1. Stellen Sie eine Funktionsgleichung von f auf.

    (Mögliches Teilergebnis: f(x)=1,5x3+2x+1f(x)=-1{,}5x^3+2x+1) (6 BE)

  2. Bestimmen Sie jeweils Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte von GfG_f und begründen Sie, warum f nur eine einfache Nullstelle besitzt. (8 BE)

  3. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen GfG_f und die Tangente GtG_t im Bereich 1,5x1,5-1{,}5\leq x\leq 1{,}5 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    Maßstab für beide Achsen: 1  LE=1  cm1 \;\mathrm{LE}=1\;\mathrm{cm} (5 BE)

  4. Der Graph GfG_f, die Tangente GtG_t und die Gerade mit der Gleichung x=1x=1 schließen im I. Quadrant des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung aus Aufgabe 1.3 und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (5 BE)