Berechne die Steigung der Funktion p(x)=x2+1 an der Stelle x=3 mit Hilfe der h-Methode und stelle die Gleichung der Tangente an der Stelle auf.
| m | = | h→0limhf(x0+h)−f(x0) | |
↓ | Zunächst setzt man x0=3 | ||
| m | = | h→0limhf(3+h)−f(3) | |
↓ | Jetzt setzt man f in die Formel ein. | ||
| m | = | h→0limh[(3+h)2+1]−[32+1] | |
↓ | Rechne f(3) aus. | ||
| m | = | h→0limh(3+h)2+1−10 | |
↓ | Löse die entstehende binomische Formel auf. | ||
| m | = | h→0limh32+2⋅3⋅h+h2−9 | |
↓ | Vereinfache den Zähler. | ||
| m | = | h→0limh6h+h2 | |
↓ | Klammere h im Zähler aus. | ||
| m | = | h→0limhh(6+h) | |
↓ | Kürze h. | ||
| m | = | h→0lim6+h | |
↓ | Jetzt kann man den Limes bilden | ||
| m | = | 6 | |
Der Term einer Tangente hat die Form t(x)=mx+b
Die Steigung m entspricht der berechneten Steigung an der berührten Stelle von f.
Man bestimmt b indem man die Tatsache verwendet, dass der Punkt berührte Punkt A(x∣p(x))=A(3∣10) auf der Tangente liegen muss.
| t(x) | = | m⋅x+b | |
↓ | Einsetzen des Punktes | ||
| t(3) | = | m⋅3+b | |
↓ | Einsetzen von m | ||
| 10 | = | 6⋅3+b | |
↓ | Auflösen nach b | ||
| 10 | = | 18+b | −18 |
| −8 | = | b | |
Die Gleichung der Tangente ist somit t(x)=6⋅x−8
Wir wenden die Formel für die h-Methode an und erhalten so die Steigung m der Tangente.
Mit der Steigung der Tangente m und dem Punkt A(3∣p(3)), der sowohl auf der Parabel als auch auf der Tangente liegt, stellt man die Gleichung der Tangente auf.
