Die erste Ableitungsfunktion von hk wird mit hk′ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
"Es gibt genau einen Wert von k für den der Graph von hk′ Tangente an den Graphen von hk ist." (6 P)
Die Graphen von hk und hk′ werden in der Abbildung 3 für k=4 beispielhaft für gerade Werte von k gezeigt, in Abbildung 4 für k=5 beispielhaft für ungerade Werte von k.
Für k≥4 werden die Punkte P(4∣hk(4)),Q(4∣hk′(4)), R(2∣hk(2)) und S(2∣hk′(2) betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
"Für jeden geraden Wert von k mit k≥4 stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für k und der Flächeninhalt des Trapezes für k+1 überein". (7 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Die Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Trapezes
Die Punkte R(2∣hk(2)) und S(2∣hk′(2) haben die x-Koordinate 2, d.h. die Strecke [SR] ist parallel zur y-Achse.
Die Punkte P(4∣hk(4)) und Q(4∣hk′(4)) haben die x-Koordinate 4, d.h. die Strecke [PQ] ist parallel zur y-Achse.
Die beiden Strecken sind also parallel zueinander. Die Vierecke RSPQ bzw. SRPQ sind somit immer Trapeze.
Für jeden geraden Wert von k mit k≥4 stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für k und der Flächeninhalt des Trapezes für k+1 überein
Trapezfläche für k und k ist gerade
Gegeben sind die beiden Funktionen:
hk(x)=(x−3)k+1 und hk′(x)=k⋅(x−3)k−1
Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man nach der Formel: