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Betrachtet wird die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen hkh_k mit

hk(x)=(x3)k+1h_k(x)=(x-3)^k+1 und kk\in {1;2;3;..1;2;3;...}

  1. Geben Sie in Abhängigkeit von kk das Verhalten von hkh_k für xx\rightarrow-\infty an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 P)

  2. Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 P)

  3. Die erste Ableitungsfunktion von hkh_k wird mit hkh_k' bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

    "Es gibt genau einen Wert von kk für den der Graph von hkh_k' Tangente an den Graphen von hkh_k ist." (6 P)


  4. Zwei Abbildungen mit Graphen

    Die Graphen von hkh_k und hkh_k' werden in der Abbildung 3 für k=4k=4 beispielhaft für gerade Werte von kk gezeigt, in Abbildung 4 für k=5k=5 beispielhaft für ungerade Werte von kk.

    Für k4k\ge4 werden die Punkte P(4hk(4)),Q(4hk(4))P(4|h_k(4)), Q(4|h_k'(4)), R(2hk(2))R(2|h_k(2)) und S(2hk(2)S(2|h_k'(2) betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

    Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

    "Für jeden geraden Wert von k mit k4k\ge4 stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für kk und der Flächeninhalt des Trapezes für k+1k+1 überein". (7 P)