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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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  1. 1
    Graph einer Funktion

    Abb. 1

    Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 6:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit

    f(x)=x(85x)(1x4)2=516x4+3x39x2+8xf(x)=x\cdot (8-5x)\cdot (1-\dfrac{x}{4})^2=-\dfrac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x

    beschrieben werden. Dabei gibt xx die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff für 0x40\le x\le4.

    Für die erste Ableitungsfunktion von f gilt

    f(x)=(5x216x+8)(1x4).f'(x)=(5x^2-16x+8)\cdot (1-\dfrac{x}{4}).

    1. Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms ff, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. (3 P)

    2. Es gilt f(2)<0f(2)\lt 0. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an. (1 P)

    3. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 P)

    4. Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 P)

    5. Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion ff die in

      R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit

      s(x)=(x4)2(4x)3=116x5+34x43x3+4x2s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3=-\dfrac{1}{16}x^5+\dfrac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2

      von Bedeutung.

      Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: "Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 6:006:00 Uhr bis 10:0010:00 Uhr durch die Funktion ss angegeben werden." Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um 10:0010:00 Uhr vollständig aufgelöst hat. (4 P)

    6. Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 6:306:30 Uhr bis 8:008:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge. (3 P)

    7. Graph Staulänge

      Abb. 2

      Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 6:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist xx die nach 6:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und yy die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

      Um 7:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2. (3 P)

  2. 2

    Betrachtet wird die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen hkh_k mit

    hk(x)=(x3)k+1h_k(x)=(x-3)^k+1 und kk\in {1;2;3;..1;2;3;...}

    1. Geben Sie in Abhängigkeit von kk das Verhalten von hkh_k für xx\rightarrow-\infty an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 P)

    2. Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 P)

    3. Die erste Ableitungsfunktion von hkh_k wird mit hkh_k' bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

      "Es gibt genau einen Wert von kk für den der Graph von hkh_k' Tangente an den Graphen von hkh_k ist." (6 P)


    4. Zwei Abbildungen mit Graphen

      Die Graphen von hkh_k und hkh_k' werden in der Abbildung 3 für k=4k=4 beispielhaft für gerade Werte von kk gezeigt, in Abbildung 4 für k=5k=5 beispielhaft für ungerade Werte von kk.

      Für k4k\ge4 werden die Punkte P(4hk(4)),Q(4hk(4))P(4|h_k(4)), Q(4|h_k'(4)), R(2hk(2))R(2|h_k(2)) und S(2hk(2)S(2|h_k'(2) betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

      Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

      "Für jeden geraden Wert von k mit k4k\ge4 stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für kk und der Flächeninhalt des Trapezes für k+1k+1 überein". (7 P)


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