Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat

Setze $f(x)$ gleich null:

$0=x\cdot (8-5x)\cdot \left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$

Es wird der Satz vom Nullprodukt angewendet.

Es ist $x=0$ oder $8-5x=0$ oder $\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2=0$.

Also ist $x=0$ und/oder $x=\dfrac{8}{5}=1{,}6$ und/oder $x=4$.

Zu diesen x-Werten gehören die Uhrzeiten $6:00$ Uhr, $7:36$ Uhr und $10:00$ Uhr. Zu diesen Zeiten ist die momentane Änderungsrate der Staulänge gleich null.

Die Funktion $f$ hat den Grad $4$, d.h. der Graph der Funktion hat maximal vier einfache Nullstellen.

Die ersten beiden Nullstellen sind einfache Nullstellen. Die Nullstelle $x=4$ ist eine doppelte Nullstelle. Es gibt also insgesamt vier Nullstellen. Somit gibt es keine weiteren Nullstellen und keine weiteren Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Es ist $f(2)<0$.

$x=2$ heißt, die Uhrzeit ist $8:00$ Uhr, also $2$ Stunden nach dem Beginn des Staus.

Der Funktionswert um $8$ Uhr ist negativ. Die Staulänge nimmt um $8$ Uhr ab.

Maximale Änderungsrate

Gesucht ist der Hochpunkt des Graphens der Funktion $f$.

Setze $f'(x)=0$:

$(5x^2- 16x +8)\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right) =0$

Verwende zur Lösung dieser Gleichung den Satz vom Nullprodukt.

Es ist $\mathrm{(I)}:\;5x^2- 16x +8=0$ oder $\mathrm{(II)}:\;1-\dfrac{x}{4} =0$

Lösung der Gleichung $\mathrm{(I)}$

Hier wird die Mitternachtsformel verwendet.

Die Werte für $a$, $b$ und $c$ werden abgelesen und eingesetzt:

$a=5$, $b=-16$ und $c=8$

Somit ist $x_1= \dfrac{8+2\cdot\sqrt{6}}{5} \approx 2{,}58$ und $x_2 = \dfrac{8-2\cdot\sqrt{6}}{5} \approx 0{,}62$.

Lösung der Gleichung $\mathrm{(II)}$

Die dritte Lösung von $f'(x)=0$ ist $x_3=4$.

Betrachtet man den Graphen von $f$, so liegt der gesuchte Hochpunkt beim kleinsten $x$-Wert, bei dem der Graph eine waagrechte Tangente hat, also bei $x=0{,}62$.

Zu diesem $x$-Wert gehört die Uhrzeit $6:37$ Uhr. Somit nimmt die Staulänge um $6:37$ Uhr am stärksten zu.

Die maximale Staulänge wird erreicht, wenn die Funktion $f$ (die momentane Änderungsrate) die $x$-Achse schneidet. Hier wechselt $f$ vom Positiven ins Negative.

Dieser Zeitpunkt wurde schon in Aufgabe a) berechnet. Es ist $x=1{,}6$.

Um $7:36$ Uhr ist die Staulänge maximal.

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von $6:00$ Uhr bis $10:00$ Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Die Funktion $s$ gibt dann die Staulänge an, wenn $s$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Es muss gelten: $s'(x)=f(x)$

Die Ableitung von $s$ wird berechnet und mit der Funktion $f$ verglichen.

$s(x)=-\dfrac{1}{16}x^5+\dfrac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$

$s'(x)=-\dfrac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f(x)$

Somit ist $s$ eine Stammfunktion von $f$.

Weiterhin gilt: $s(0)=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2\cdot (4-0)^3=0\cdot 4^3=0$

Die Staulänge um $6:00$ Uhr ist gleich null, d.h. hier beginnt gerade der Stau.

Die Funktion $s$ ist also die zu $f$ gehörende Stammfunktion.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um $10:00$ Uhr vollständig aufgelöst hat.

Wenn sich der Stau um $10:00$ Uhr (hier ist $x=4$) vollständig aufgelöst hat, muss $s(4)$ gleich null sein.

$s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3$

Setze $x=4$ ein:

$s(4)=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2\cdot (4-4)^3=1\cdot 0^3=0$

Somit hat sich der Stau um $10:00$ Uhr vollständig aufgelöst.

Zunahme der Staulänge

Um $6:30$ Uhr ist $x=0{,}5$ und um $8:00$ Uhr ist $x=2$.

Berechnet werden muss also die Differenz $\Delta s=s(2)-s(0{,}5)$.

$s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2\cdot (4-x)^3$

Der Stau hat von $6:30$ Uhr bis $8:00$ Uhr um rund $1{,}33 \;\text{km}$ zugenommen.

Mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum

Hier muss der Differenzenquotient $m=\dfrac{\Delta s}{\Delta x}$ berechnet werden:

Die mittlere Änderungsrate der Staulänge für diesen Zeitraum beträgt rund $0{,}8867\;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Um $7:30$ Uhr, d.h. bei $x=1{,}5$ hat der Stau eine bestimmte Länge. Die Staulänge nimmt ab $x=1{,}5$ weiter zu, da die momentane Änderungsrate positiv ist. Die Zunahme erfolgt so lange, bis der Graph die $x$-Achse schneidet. Das ist bei $x\approx2{,}2$, d.h. um etwa $8:12$ Uhr der Fall. Ab $8:12$ Uhr muss dann der Stau sich um den gleichen Betrag verringern, um den er von $7:30$ bis $8:12$ Uhr zugenommen hat. Das ist etwa bei $x=2{,}9$ ($8:54$ Uhr) der Fall.

Um etwa $8:54$ Uhr hat der Stau die gleiche Länge wie um $7:30$ Uhr.

Die Flächen zwischen dem Graphen und der $x$-Achse einmal im Bereich von $x=1{,}5$ bis $x=2{,}2$ und dann von $x=2{,}2$ bis $x=2{,}9$ müssen demnach gleich groß sein.

In der folgenden Abbildung sind die beiden gleich großen Flächen und der Zeitpunkt der gleichen Staulänge wie um $7:30$ Uhr markiert (blauer Punkt).

Verhalten von $h_k$ für $x\rightarrow-\infty$

$h_k(x)=(x-3)^k+1$

Fallunterscheidung:

$k$ ungerade, also $k=1$, $k=3$ usw.

Für $k=1$ ist der Graph von $h_1$ eine steigende Gerade.

Für $k=3$ und alle anderen ungeraden $k$ ist der Graph von $h_k$ eine Parabel $3.$, $5.$ usw. Ordnung. Der Graph hat einen Terrassenpunkt $(3|1)$.

Der Koeffizient von $x^k$ ist positiv.

Dann gilt für alle ungeraden $k$: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x-3)^k+1=-\infty$

$k$ gerade, also $k=2$, $k=4$ usw.

Für $k=2$ und alle anderen geraden $k$ ist der Graph von $h_k$ eine Parabel $2.$, $4.$ usw. Ordnung. Der Graph hat einen Tiefpunkt $(3|1)$.

Der Koeffizient von $x^k$ ist positiv.

Dann gilt für alle geraden $k$: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (x-3)^k+1=+\infty$

Gemeinsame Punkte

Es ist $k_1\neq k_2$:

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $h_{k_1}=h_{k_2}$:

Diese Gleichung hat die Lösung $x_1=3$, denn $0^{k_1}=0^{k_2}$ für $k_1,k_2 \in\{1; 2; 3...\}$.

Der Funktionswert für $x=3$ ist $h_k(3)=(3-3)^{k}+1=0+1=1$

$\Rightarrow\;P_1(3|1)$

Für $x\neq 3$ folgt:

Da $k_1\neq k_2$ kann der Exponent nicht null werden. Eine weitere Lösung findet man nur, wenn $x-3=1$ ist, da $1 ^{k_1-k_2}=1$ ist für $k_1,k_2 \in\{1; 2; 3...\}$.

$x-3=1\;\Rightarrow\;x_2=4$

Der Funktionswert für $x=4$ ist $h_k(4)=(4-3)^{k}+1=1+1=2$

$\Rightarrow\;P_2(4|2)$

Es gibt also zwei Punkte $P_1(3|1)$ und $P_2(4|2)$, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Die Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Trapezes

Die Punkte $R(2|h_k(2))$ und $S(2|h_k'(2)$ haben die $x$-Koordinate $2$, d.h. die Strecke $[SR]$ ist parallel zur $y$-Achse.

Die Punkte $P(4|h_k(4))$ und $Q(4|h_k'(4))$ haben die $x$-Koordinate $4$, d.h. die Strecke $[PQ]$ ist parallel zur y-Achse.

Die beiden Strecken sind also parallel zueinander. Die Vierecke $RSPQ$ bzw. $SRPQ$ sind somit immer Trapeze.

Für jeden geraden Wert von k mit $k\ge4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein

Trapezfläche für k und k ist gerade

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $h_k'(x)=k\cdot (x-3)^{k-1}$

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man nach der Formel:

$A_{\text{Trapez}}=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$

Die Höhe aller Trapeze ist immer $h=2$ (Differenz der $x$-Koordinaten).

Die Seite $a$ entspricht der Strecke $[SR]$ und $c$ entspricht der Strecke $[PQ]$.

Dann gilt für den Flächeninhalt des Trapezes $A_k$:

$A_k=\dfrac{\overline{SR}+\overline{PQ}}{2}\cdot 2=\overline{SR}+\overline{PQ}$, dabei gilt für $A_K$ die Einheit $\text{FE}$.

$\overline{SR}=y_R-y_S=h_k(2)-h_k'(2)$

$\overline{PQ}=y_Q-y_P=h_k'(4)-h_k(4)$

$h_k(2)=(2-3)^k+1=1+1=2$, da $(-1)^k=1$ ist ($k$ ist hier gerade).

$h_k'(2)=k\cdot (2-3)^{k-1}=k\cdot (-1)^{k-1}=-k$, da $(-1)^{k-1}=-1$ ist ($(k-1)$ ist hier ungerade).

$h_k(4)=(4-3)^k+1=1^k+1=1+1=2$

$h_k'(4)=k\cdot (4-3)^{k-1}=k\cdot (1)^{k-1}=k\cdot 1=k$

$A_k=\overline{SR}+\overline{PQ}=(h_k(2)-h_k'(2))+(h_k'(4)-h_k(4))=(2-(-k))+(k-2)=2\cdot k\;\text{FE}$

Trapezfläche für k+1 und k+1 ist ungerade

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$h_{k+1}(x)=(x-3)^{k+1}+1$ und $h_{k+1}'(x)=(k+1)\cdot (x-3)^{k+1-1}=(k+1)\cdot (x-3)^k$

Für den Flächeninhalt des Trapezes $A_{k+1}$ gilt:

$A_{k+1}=\dfrac{\overline{RS}+\overline{PQ}}{2}\cdot 2=\overline{RS}+\overline{PQ}$, dabei gilt für $A_{k+1}$ die Einheit $\text{FE}$.

$\overline{RS}=y_S-y_R=h_{k+1}'(2)-h_{k+1}(2)$

$\overline{PQ}=y_Q-y_P=h_{k+1}'(4)-h_{k+1}(4)$

$h_{k+1}'(2)=(k+1)\cdot (2-3)^k=(k+1)\cdot (-1)^k=k+1$, da $(-1)^k =1$ ist (k ist gerade).

$h_{k+1}(2)=(2-3)^{k+1}+1=(-1)^{k+1}+1=-1+1=0$, da $(-1)^{k+1}=-1$ ist ($(k+1)$ ist hier ungerade).

$h_{k+1}'(4)=(k+1)\cdot (4-3)^k=(k+1)\cdot (1)^k=k+1$

$h_{k+1}(4)=(4-3)^{k+1}+1=(1)^{k+1}+1=1+1=2$

$A_{k+1}=\overline{RS}+\overline{PQ}=(h_k'(2)-h_k(2))+(h_k'(4)-h_k(4))\\\;\;\;\;\;\;\;\;=((k+1)-0)+((k+1)-2)=2\cdot k\;\text{FE}$

Damit haben die beiden Trapeze den gleichen Flächeninhalt von $2\cdot k\;\text{FE}$.

Für jeden geraden Wert von k mit $k\ge4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

In der folgenden Abbildung ist das Trapez für $k=4$ gezeichnet. Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Die dient nur zur Veranschaulichung.