Verhalten von $h_k$ für $x\to -\infty$

$h_k(x)=(x-3{)}^k+1$

Fallunterscheidung:

$k$ ungerade, also $k=1$, $k=3$ usw.

Für $k=1$ ist der Graph von $h_1$ eine steigende Gerade.

Für $k=3$ und alle anderen ungeraden $k$ ist der Graph von $h_k$ eine Parabel $3.$, $5.$ usw. Ordnung. Der Graph hat einen Terrassenpunkt $(3|1)$.

Der Koeffizient von $x^k$ ist positiv.

Dann gilt für alle ungeraden $k$: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x-3{)}^k+1=-\infty }$$

$k$ gerade, also $k=2$, $k=4$ usw.

Für $k=2$ und alle anderen geraden $k$ ist der Graph von $h_k$ eine Parabel $2.$, $4.$ usw. Ordnung. Der Graph hat einen Tiefpunkt $(3|1)$.

Der Koeffizient von $x^k$ ist positiv.

Dann gilt für alle geraden $k$: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x-3{)}^k+1=+\infty }$$

Gemeinsame Punkte

Es ist $k_1\ne k_2$:

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $h_{k_1}=h_{k_2}$:

Diese Gleichung hat die Lösung $x_1=3$, denn $0^{k_1}=0^{k_2}$ für $k_1,k_2\in \{1;2;\mathrm{3...}\}$.

Der Funktionswert für $x=3$ ist $h_k(3)=(3-3{)}^k+1=0+1=1$

$\Rightarrow P_1(3|1)$

Für $x\ne 3$ folgt:

Da $k_1\ne k_2$ kann der Exponent nicht null werden. Eine weitere Lösung findet man nur, wenn $x-3=1$ ist, da $1^{k_1-k_2}=1$ ist für $k_1,k_2\in \{1;2;\mathrm{3...}\}$.

$x-3=1\Rightarrow x_2=4$

Der Funktionswert für $x=4$ ist $h_k(4)=(4-3{)}^k+1=1+1=2$

$\Rightarrow P_2(4|2)$

Es gibt also zwei Punkte $P_1(3|1)$ und $P_2(4|2)$, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Die Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Trapezes

Die Punkte $R(2|h_k(2))$ und $S(2|h_k^{\prime }(2)$ haben die $x$-Koordinate $2$, d.h. die Strecke $[SR]$ ist parallel zur $y$-Achse.

Die Punkte $P(4|h_k(4))$ und $Q(4|h_k^{\prime }(4))$ haben die $x$-Koordinate $4$, d.h. die Strecke $[PQ]$ ist parallel zur y-Achse.

Die beiden Strecken sind also parallel zueinander. Die Vierecke $RSPQ$ bzw. $SRPQ$ sind somit immer Trapeze.

Für jeden geraden Wert von k mit $k\ge 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein

Trapezfläche für k und k ist gerade

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$h_k(x)=(x-3{)}^k+1$ und $h_k^{\prime }(x)=k\cdot (x-3{)}^{k-1}$

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man nach der Formel:

$A_{\text{Trapez}}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h$

Die Höhe aller Trapeze ist immer $h=2$ (Differenz der $x$-Koordinaten).

Die Seite $a$ entspricht der Strecke $[SR]$ und $c$ entspricht der Strecke $[PQ]$.

Dann gilt für den Flächeninhalt des Trapezes $A_k$:

$A_k={\displaystyle \frac{\overline{SR}+\overline{PQ}}{2}}\cdot 2=\overline{SR}+\overline{PQ}$, dabei gilt für $A_K$ die Einheit $\text{FE}$.

$\overline{SR}=y_R-y_S=h_k(2)-h_k^{\prime }(2)$

$\overline{PQ}=y_Q-y_P=h_k^{\prime }(4)-h_k(4)$

$h_k(2)=(2-3{)}^k+1=1+1=2$, da $(-1{)}^k=1$ ist ($k$ ist hier gerade).

$h_k^{\prime }(2)=k\cdot (2-3{)}^{k-1}=k\cdot (-1{)}^{k-1}=-k$, da $(-1{)}^{k-1}=-1$ ist ($(k-1)$ ist hier ungerade).

$h_k(4)=(4-3{)}^k+1=1^k+1=1+1=2$

$h_k^{\prime }(4)=k\cdot (4-3{)}^{k-1}=k\cdot (1{)}^{k-1}=k\cdot 1=k$

$A_k=\overline{SR}+\overline{PQ}=(h_k(2)-h_k^{\prime }(2))+(h_k^{\prime }(4)-h_k(4))=(2-(-k))+(k-2)=2\cdot k\text{FE}$

Trapezfläche für k+1 und k+1 ist ungerade

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$h_{k+1}(x)=(x-3{)}^{k+1}+1$ und $h_{k+1}^{\prime }(x)=(k+1)\cdot (x-3{)}^{k+1-1}=(k+1)\cdot (x-3{)}^k$

Für den Flächeninhalt des Trapezes $A_{k+1}$ gilt:

$A_{k+1}={\displaystyle \frac{\overline{RS}+\overline{PQ}}{2}}\cdot 2=\overline{RS}+\overline{PQ}$, dabei gilt für $A_{k+1}$ die Einheit $\text{FE}$.

$\overline{RS}=y_S-y_R=h_{k+1}^{\prime }(2)-h_{k+1}(2)$

$\overline{PQ}=y_Q-y_P=h_{k+1}^{\prime }(4)-h_{k+1}(4)$

$h_{k+1}^{\prime }(2)=(k+1)\cdot (2-3{)}^k=(k+1)\cdot (-1{)}^k=k+1$, da $(-1{)}^k=1$ ist (k ist gerade).

$h_{k+1}(2)=(2-3{)}^{k+1}+1=(-1{)}^{k+1}+1=-1+1=0$, da $(-1{)}^{k+1}=-1$ ist ($(k+1)$ ist hier ungerade).

$h_{k+1}^{\prime }(4)=(k+1)\cdot (4-3{)}^k=(k+1)\cdot (1{)}^k=k+1$

$h_{k+1}(4)=(4-3{)}^{k+1}+1=(1{)}^{k+1}+1=1+1=2$

$\begin{array}{l}{A}_{k+1}=\overline{RS}+\overline{PQ}=(h_k^{\prime }(2)-h_k(2))+(h_k^{\prime }(4)-h_k(4))\\ =((k+1)-0)+((k+1)-2)=2\cdot k\text{FE}\end{array}$

Damit haben die beiden Trapeze den gleichen Flächeninhalt von $2\cdot k\text{FE}$.

Für jeden geraden Wert von k mit $k\ge 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

In der folgenden Abbildung ist das Trapez für $k=4$ gezeichnet. Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Die dient nur zur Veranschaulichung.